Integrale

[EnigMat]

Salve di nuovo,

questa volta ho un problema con l'integrale

$\int_0^(2\pi) frac{1}{3-sinx}dx$.
Ho provato con le formule parametriche razionali ma senza successo.
C'è qualche sostituzione da fare che mi sfugge?

Grazie

[K.Lomax]

Ti consiglierei la seguente sostituzione:

$sinx=(2tan(t/2))/(1+tan^2(t/2))$

Dovresti arrivare ad una forma polinomiale.

[EnigMat]

Avevo già provato con le formule parametriche. il problema è che con la sostituzione $tan(x/2)=t$ gli estremi dell'integrale vengono entrambi uguali a zero, mentre da una verifica con derive il risultato è non nullo. in che altro modo potrei procedere?

[fireball-votailprof]

Sarò esagerato,ma credo che la via più semplice sia l'analisi complessa;

$sin(z)=(z-z^(-1))/(2j)=(z^2-1)/(2j)

pertanto l'integrale diventa:

$1/joint_(Gamma)dz/(z*(3-(z^2-1)/(2jz)))$, essendo $Gamma:|z|=1

sviluppando i calcoli si ha,salvo errori,

$-2oint_(Gamma)dz/(z^2-6jz-1)$, $Gamma:|z|=1

$z^2-6jz-1=0 <=> z=(3+-2sqrt2)j$, di cui solo $z=(3-2sqrt2)j$ è interna a gamma

calcoliamo il residuo con la formula:

$Res(f(z),z)=-2*lim_(zto(3-2sqrt2)j)(z-3j+2sqrt2j)/((z-3j+2sqrt2j)*(z-3j-2sqrt2j))=-2*lim_(zto(3-2sqrt2)j)1/(z-3j-2sqrt2j)=
$=-2/(-4sqrt2j)=1/(2sqrt2j)

a questo punto l'integrale è dato da: $2pij*Res(f(z),z)=2pi*j/(2sqrt2j)=pi/(sqrt2)=(sqrt2*pi)/2$

[EnigMat]

Ok, il risultato è giusto .

In effetti procedendo con metodi più o meno standard, non sono riuscito a venirne a capo. Grazie

[adaBTTLS1]

se non ricordo male, in esercizi analoghi era stato suggerito di usare le formule di duplicazione: $senx=2sen(x/2)cos(x/2)$, ma non ho svolto l'esercizio.
ciao.

[leena1]

Secondo me è un ottimo suggerimento quello di Ada.

[adaBTTLS1]

sì, grazie, ora correggo.

[EnigMat]

Con il suggerimento di Ada sono arrivato a questa espressione dell'integrale:



$1/2intfrac{1}{1+(frac{cos(x/2)-sin(x/2)}{sqrt2})^2}dx$.

Però non riesco a ricondurmi ad un'arctg.

[ViciousGoblin]

"EnigMat":Avevo già provato con le formule parametriche. il problema è che con la sostituzione $tan(x/2)=t$ gli estremi dell'integrale vengono entrambi uguali a zero, mentre da una verifica con derive il risultato è non nullo. in che altro modo potrei procedere?

Il problema e' interessante (e mi ricorda un'altra questione , oggetto di un post simile a cui ho risposto in questi giorni).
In effetti la sostituzione in $t=\arcan(x/2)$ non va bene perche' l'arcotangente non descrive l'intervallo $[0,2\pi]$. Se si vuole usare quella sostituzione conviene prima
(semplice conseguenza della periodicita') scrivere l'integrale come
$\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{3-\sin(x)}dx$
che a questo punto si puo' scrivere (usando la sostituzione detta sopra)
$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{3-\frac{2t}{1+t^2}}\frac{2}{1+t^2}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2}{3-2t+3t^2}dt$
che dovrebbe dare il valore corretto

EDIT Per completezza finisco il calcolo.

Posso scrivere $3t^2-2t+3=(\sqrt{3}t-1/\sqrt{3})^2+8/3=8/3((\frac{3t-1}{2\sqrt{2}})^2+1)$ per cui l'integrale diventa
$3/4\int_{-oo}^{+oo}\frac{1}{(\frac{3t-1}{2\sqrt{2}})^2+1}dt=\frac{1}{\sqrt{2}}[\arctan(\frac{3t-1}{2\sqrt{2}})]_{-oo}^{+oo}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}$

[adaBTTLS1]

no, se parti dal mio suggerimento poi non ti puoi incartare in quel modo!
ricordo che si dovesse moltiplicare numeratore e denominatore per $cos^2(x/2)$ ... prova e facci sapere. ciao.

EDIT: non escludo che ci si possa arrivare (magari la moltiplicazione va fatta per $1/(cos^2(x/2))$), leena sembrerebbe pensare che sia facile partire dalla formula suggerita da me; io però comincio ad avere i miei dubbi; ho provato con la funzione cerca, e penso che il mio suggerimento si riferisse ad un altro tipo di funzione, magari con una somma nell'argomento del seno, e non una somma così al denominatore; d'altronde, il Demidovic dà ragione all'altro tipo di sostituzione (mediante $t=tg(x/2)$)... mi scuso se ho complicato le cose, comunque in compenso cercherò anch'io di perderci un po' di tempo a soluzioni alternative...

[EnigMat]

Grazie ancora per le risposte. Ora riprovo.