Integrale

[ledrox]

Salve ho provato a risolvere questo integrale ma non ci riesco, l'integrale è:

$int 1/((cosx)^4) dx$

Ho provato prima di tutto a scrivere $cosx^4$ come $(cosx^2)(cosx^2)$, da qui ho pensato di dividere numeratore e denominatore per $senx^2$, ottenendo....ho notato che non me ne esco più. Avete qualche consiglio utile o l'unica strada da seguire era quella che ho imboccato io???
Grazie in anticipo

[ciampax]

Senti, ma la potenza è alla $x$ o al coseno?

[ledrox]

"ciampax":Senti, ma la potenza è alla $x$ o al coseno?

Al coseno

[ciampax]

Visto che $1=\sin^2 x+\cos^2 x$ e che $(\tan x)'=1/{\cos^2 x}$, hai

$\int 1/{\cos^4 x}\ dx=\int\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{\tan^2 x}{\cos^2 x}\ dx=\tan x+\frac{1}{3}\tan^3 x+c$

[ledrox]

grazie

[ledrox]

scusami ma come sei arrivato a scrivere quella somma di due termini??

[ciampax]

E dai, sostituisci 1 con la formula fondamentale della trigonometria e poi spezzi la frazione in una somma di due frazioni!

[ledrox]

ah si ...scusami lo so sono vergognoso

[turtle87crociato]

scusate se mi intrometto, ma nel caso, per il seno o per il coseno (penso sia indifferente, ti chiedo conferma), l'esponente sia dispari (se è pari penso si ragiona allo stesso modo di come ha fatto ciampax poc'anzi), cioè per un integrale del tipo $int frac {1}{(senx)^5}$, come si può ragionare?

Ho provato a rifletterci, e ho visto che l'unica strada che mi appare plausibile è quella della sostituzione $ t= tg(x/2)$.

Chiedo se siano possibili strade più brevi, continuando a ragionare in termini di seno e coseno, se possibile.

[ciampax]

Usa quella sostituzione.... altre strade sono troppo lunghe!