Integrale...
Mi potreste dare una mano a risolvere questo integrale, per favore?
La funzione $f(x)=xe^(x^2)$ è integrabile nell'intervallo $[0,y)$ per ogni $yinRR$. Si determini il valore di y per cui tale integrale assume il valore $1$.
Per iniziare avevo posto: $\int_0^yxe^(x^2)dx=1$
Poi ho pensato prima di risolvere l'integrale ed una volta trovato porlo uguale a 1 e trovare così y
Il problema è che non riesco a risolvere nemmeno l'integrale... cioè ho provato per parti
$\int_0^yxe^(x^2)dx$ cioè $\int_0^yg'fdx= fg-intgf'dx$
però ponendo $x=g'$ l'integrale man mano che vado avanti nei passaggi si complica (riporto solo il primo passaggio di tutti quelli che ho fatto):
$(x^2)/2*e^(x^2)-int(x^2)/2*2xe^(x^2)dx$
Come posso fare a risolverlo?
La funzione $f(x)=xe^(x^2)$ è integrabile nell'intervallo $[0,y)$ per ogni $yinRR$. Si determini il valore di y per cui tale integrale assume il valore $1$.
Per iniziare avevo posto: $\int_0^yxe^(x^2)dx=1$
Poi ho pensato prima di risolvere l'integrale ed una volta trovato porlo uguale a 1 e trovare così y
Il problema è che non riesco a risolvere nemmeno l'integrale... cioè ho provato per parti
$\int_0^yxe^(x^2)dx$ cioè $\int_0^yg'fdx= fg-intgf'dx$
però ponendo $x=g'$ l'integrale man mano che vado avanti nei passaggi si complica (riporto solo il primo passaggio di tutti quelli che ho fatto):
$(x^2)/2*e^(x^2)-int(x^2)/2*2xe^(x^2)dx$
Come posso fare a risolverlo?
Risposte
Cos'è
$d/(dx) e^{x^2}$ ?
$d/(dx) e^{x^2}$ ?
è la derivata quindi: $2xe^(x^2)$!
Capito! Invece dell'integrazione per parti bastava "sistemare" un po' l'integrale.... allora vediamo:
$1/2int2xe^(x^2)dx= 1/2e^(x^2)|_0^y=1/2e^(y^2)-1/2$
Dunque $1/2e^(y^2)-1/2=1$ e quindi
$e^(y^2)=3$ e quindi $y=sqrt(log3)$
Dovrebbe essere giusto! Grazie amel!!!
Capito! Invece dell'integrazione per parti bastava "sistemare" un po' l'integrale.... allora vediamo:
$1/2int2xe^(x^2)dx= 1/2e^(x^2)|_0^y=1/2e^(y^2)-1/2$
Dunque $1/2e^(y^2)-1/2=1$ e quindi
$e^(y^2)=3$ e quindi $y=sqrt(log3)$
Dovrebbe essere giusto! Grazie amel!!!
Ho un problema a risolvere anche questo esercizio che a dir la verità è molto simile al precedente:
$int_0^y2xe^(-x^2)dx=1/2$
Praticamente all'integrale basta sistemare con il segno meno:
$-int_0^y-2xe^(-x^2)dx=1/2$
Quindi $-e^(-x^2)|_0^y=1/2$ cioè $-e^(-y^2)+1=1/2$ quindi $-e^(-y^2)=-1/2$
Cerco di risolverlo ma mi blocco:
$e^(-y^2)=1/2$ e cioé $-y^2=log(1/2)$
e quindi non riesco a trovare il valore della y...
non capisco proprio dove sbaglio... come dovrei risolverlo?
Non so, ho provato anche a vedere $e^(-y^2)$ come $(1/e)^(y^2)$ ma non riesco a risolverlo comunque!
$int_0^y2xe^(-x^2)dx=1/2$
Praticamente all'integrale basta sistemare con il segno meno:
$-int_0^y-2xe^(-x^2)dx=1/2$
Quindi $-e^(-x^2)|_0^y=1/2$ cioè $-e^(-y^2)+1=1/2$ quindi $-e^(-y^2)=-1/2$
Cerco di risolverlo ma mi blocco:
$e^(-y^2)=1/2$ e cioé $-y^2=log(1/2)$
e quindi non riesco a trovare il valore della y...
non capisco proprio dove sbaglio... come dovrei risolverlo?Non so, ho provato anche a vedere $e^(-y^2)$ come $(1/e)^(y^2)$ ma non riesco a risolverlo comunque!
Scusa, ma ti perdi in un bicchier d'acqua dopo aver fatto la parte difficile... 
Tieni presente che $log(1/2)=-log2$ (proprietà dei logaritmi), quindi $-y^2=log(1/2) \Leftrightarrow y^2=log2$ e quest'ultima è una banalissima equazione di secondo grado che si risolve prendendo le radici.
Ora devi riflettere solo un po' se la soluzione negativa è accettabile o meno, poi hai concluso.
Tieni presente che $log(1/2)=-log2$ (proprietà dei logaritmi), quindi $-y^2=log(1/2) \Leftrightarrow y^2=log2$ e quest'ultima è una banalissima equazione di secondo grado che si risolve prendendo le radici.
Ora devi riflettere solo un po' se la soluzione negativa è accettabile o meno, poi hai concluso.
è vero! è una cosa molto banale e io ci ho impiegato un sacco di tempo perché non ci ho proprio guardato alle proprietà dei logaritmi 
... povera me!
Grazie Gugo82!!!
Ok, allora la soluzione è $y=sqrt(log2)$
... povera me!Grazie Gugo82!!!
Ok, allora la soluzione è $y=sqrt(log2)$
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