Integrale

Sk_Anonymous
Ciao

vorrei sapere se qualcuno ha qualche idea per risolvere il seguente integrale in campo reale o complesso
$\int_{0}^{Pi/2} (Sen(x))/x dx$

Sò che si puo risolvere per serie, ma qualcuno ha un'idea piu originale?

Risposte
ciampax
Potresti provare ad usare il teorema dei residui, dopo aver riscritto la funzione in forma complessa. Ma alla fine, non concludi niente di nuovo!

Marco512
Correggetemi se sbaglio.
Io l'avrei risolto integrando 2 volte per parti, ponendo $senx$ come fattore finito e $1/x$ come fattore differenziale, poi la seconda volta $cos(x)$ fattore finito e $1/x$ fattore differenziale.
Alla fine diverge a $ +\infty$ perchè risulta $1/2 logx(senx + cosx)$ valutato fra 0 e $\pi /2$

gugo82
"Marco512":
Correggetemi se sbaglio.
Io l'avrei risolto integrando 2 volte per parti, ponendo $senx$ come fattore finito e $1/x$ come fattore differenziale, poi la seconda volta $cos(x)$ fattore finito e $1/x$ fattore differenziale.
Alla fine diverge a $ +\infty$ perchè risulta $1/2 logx(senx + cosx)$ valutato fra 0 e $\pi /2$

Si vede ad occhio che quella non può essere una primitiva di $(sinx)/x$, ricontrolla i calcoli.

Inoltre, $(sinx)/x$ è una funzione di cui si sa che l'integrale improprio esteso a $[0,+oo[$ converge (semplicemente ma non assolutamente); quindi il tuo risultato è sicuramente sbagliato.

Marco512
Allora, provo a scrivere tutti i passaggi:
integro per parti, senza gli estremi di integrazione

$\int sinx/x dx = sinx logx - \int cosx/x dx $

per parti l'integrale a secondo membro:

$ = sinx logx -[cosx logx - \int (-sinx)/x dx]$

$ = logx(sinx- cosx) -\int sinx/x dx$

l'ultimo integrale lo porto a primo membro e ottengo $1/2logx(sinx - cosx)$ fra $0$ e $\pi/2$ che diverge ugualmente.
Dov'è lo strafalcione?

gugo82
"Marco512":
Allora, provo a scrivere tutti i passaggi:
integro per parti, senza gli estremi di integrazione

$\int sinx/x" d"x = sinx logx - \int cosx/x" d"x \quad$ [...]

Sbagli il secondo membro.

Applicando la formula trovi:

$\int sinx/x" d"x = sinx logx - \int cosx * logx" d"x \quad$.

Marco512
Giusto, alla base c'è la regola della derivata del prodotto.
Grazie

Rinhos
in questo integrale non serve a niente integrare per parti, giacché svolgendo tutti i calcoli si ottiene $intsinx/x dx= sinxlogx-sinxlogx+ intsinx/x dx$, cioè un'identità banale. Bisogna prodere in altro modo (che ovviamente non so :lol: )

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