Integrale

[fed_27]

Salve a tutti ho ques'integrale

$int 1/(2+senx+cos)$
ho provato usando le paramentriche

$int (1/(2+((2t)/(1+t^2))+((1-t^2)/(1+t^2)))*1/(sqrt(1-((1-t^2)/(1+t^2))^2)$ ma ad un certo punto mi blocco
è questa la strada giusta?
grazie

[Feliciano1]

si dovrebbe essere la strada giusta, solo che credeo ti sei confuso nello scrivere $x'$, non dovrebbe essere $2/(1+t^2)$
In questo modo se poi al denominatorre fai il minimo comune multiplo poi puoi semplificare e dovrebbe venire una cosa del tipo $2/(t^2+2t+2)$ che se non ho sbagliato i conti è ancora una cosa con delta negativo però comunque dovrebbe essere risolvibile ad esempio cercando di trasformarlo in una cosa del tipo $1/(s^2+1)$

[Lord K]

Uhm... sono concorde sul metodo ma non sui conti, a me risulta:

$int 1/(2+(2t)/(1+t^2)+(1-t^2)/(1+t^2))*1/2(1+t^2)dt$

visto che $dx=1/2(1+t^2)dt$

Che ne dici?

[Feliciano1]

scusa ma la sostituzione non è $t=tan(x/2)$ da cui $x=2arctant$ e quindi $x'$ (o se preferisci dx) $=2/(1+t^2)$?

Quindi la funzione da integrare diventa

$(2/(2+2t/(1+t^2)+(1-t^2)/(1+t^2)))(1/(1+t^2))$

poi si fa il minimo comune multiplo e $1+t^2$ si semplifica.
No?

[fed_27]

"Lord K":Uhm... sono concorde sul metodo ma non sui conti, a me risulta:

$int 1/(2+(2t)/(1+t^2)+(1-t^2)/(1+t^2))*1/2(1+t^2)dt$

visto che $dx=1/2(1+t^2)dt$

Che ne dici?

se $t=tan(x/2)$ $(x)=2arctan(t)$ $dx=2/(1+t^2)$

non mi drovo con il dx

[Lord K]

Giustissimo! mi sono perso brevemente

ma da qui non capisco il tuo problema.

[deserto1]

Ok la sostituzione $t=tan(x/2)$ che fornisce $x=2arctan(t)$ e quindi $dx=2/(1+t^2)dt$.

Si ha:

$int 1/(2+sinx +cos x)dx = int [1/(2+(2t)/(1+t^2)+(1-t^2)/(1+t^2))]2/(1+t^2)dt = $

$=int 2/(t^2+2t+3) = int 2/((t+1)^2+(sqrt(2))^2)dt =$

$= 2/sqrt(2)arctan((t+1)/sqrt(2)) = sqrt(2)arctan((tan(x/2)+1)/sqrt(2))$