Integrale

[valentinax89]

Ciao a tutti avrei questo integrale:

$\int_ (((x^3/(sqrt(1-x^2))))dx$ non riesco proprio a risolverlo...

poi avrei quest'altro

$\int_{-1}^{2}|x^3/(1+x^8)|dx$

Grazie e vi prego aiutatemi.....

[Sk_Anonymous]

il primo prova con la sostituzione $x=sink
il secondo devi spezzare nei due intervalli [-1,0] e [0,2]

[_nicola de rosa]

"valentinax89":Ciao a tutti avrei questo integrale:

$\int_ (((x^3/(sqrt(1-x^2))))dx$ non riesco proprio a risolverlo...

poi avrei quest'altro

$\int_{-1}^{2}|x^3/(1+x^8)|dx$

Grazie e vi prego aiutatemi.....

1) $intx^3/(sqrt(1-x^2))dx=int(-x^2)*(-x/(sqrt(1-x^2)))dx$ . Ora integra per parti ed ottieni:

$int(-x^2)*(-x/(sqrt(1-x^2)))dx=-x^2*sqrt(1-x^2)+int2x*sqrt(1-x^2)dx=-x^2*sqrt(1-x^2)+int2x*(1-x^2)^(1/2)dx$=
$-x^2*sqrt(1-x^2)-int(1-x^2)^(1/2)d(1-x^2)=-x^2*sqrt(1-x^2)-2/3*sqrt((1-x^2)^3)=-x^2*sqrt(1-x^2)-2/3*(1-x^2)*sqrt(1-x^2)=-(x^2+2)/3*sqrt(1-x^2)+k$

2) $|x^3/(1+x^8)|={(x^3/(1+x^8),x>=0),(-x^3/(1+x^8),x<0):}$ per cui
$\int_{-1}^{2}|x^3/(1+x^8)|dx=int_(-1)^0-x^3/(1+x^8)dx+int_(0)^2x^3/(1+x^8)dx=-1/4*int_(-1)^0(4x^3)/(1+(x^4)^2)dx+1/4*int_(0)^2(4x^3)/(1+(x^4)^2)dx=-1/4[arctg(x^4)]_(-1)^0+1/4[arctg(x^4)]_(0)^2$=
$1/4arctg(1)+1/4arctg(16)=1/4arctg(16)+pi/16$

[valentinax89]

Grazie mille e questo lo risolvo alla stessa maniera?
$\int_((x^5/(sqrt(x^3-1))dx)$

[@melia]

Questo si risolve per sostituzione ponendo $x^3 -1=t$

[_nicola de rosa]

"valentinax89":Grazie mille e questo lo risolvo alla stessa maniera?
$\int_((x^5/(sqrt(x^3-1))dx)$

Potresti risolverlo alla stessa maniera, ma ti fornisco una soluzione differente

Poniamo $t=x^3->dt=3x^2dx$ per cui

$intx^5/(sqrt(x^3-1))dx=1/3*intx^3/(sqrt(x^3-1))*3x^2dx$ per cui $intx^5/(sqrt(x^3-1))dx=1/3intt/(sqrt(t-1))dt$

Ora $1/3intt/(sqrt(t-1))dt=1/3int((t-1)+1)/(sqrt(t-1))dt=1/3*int(t-1)/(sqrt(t-1))dt+1/3int1/(sqrt(t-1))dt$=
$1/3*intsqrt(t-1)dt+1/3int(t-1)^(-1/2)dt=1/3*2/3*(t-1)^(3/2)+2/3*(t-1)^(1/2)$=
$2/3*(t-1)^(1/2)*(t/3-1/3+1)=2/9*(t+2)*(t-1)^(1/2)$ da cui

$intx^5/(sqrt(x^3-1))dx=2/9*(x^3+2)*(x^3-1)^(1/2)+k$

Ti faccio notare che anche l'integrale precedente avresti potuto calcolarlo nel modo sopra esposto

[valentinax89]

grazie mille