Integrale

[Ingegnerepersbaglio]

ciao a tutti..... ho un piccolo problema con questo integrale.......

come posso muovermi?? ogni sgerimento è ben accetto!

$int xlog(1+x)-x^2log(1+x^2)$

[Covenant]

spezza la somma in due integrali e poi a occhio per parti

[fireball1]

Sì, per parti così togli di mezzo il logaritmo.

[Ingegnerepersbaglio]

per parti trovando la primitiva del logaritmo?

[fireball1]

Ma no... Integri x (analogamente per $x^2$) e derivi log(1+x)...

[Ingegnerepersbaglio]

è possibile che quello con x mi venga:


$x^2/2log(1+x)-x^3/6-x^2/4$
mi sono impantanato in un niente......

[fireball1]

No... Guarda è semplice...
$int xlog(1+x) dx = x^2/2 log(1+x) - 1/2 int (x^2)/(1+x) dx
L'ultimo integrale lo risolvi con la divisione tra polinomi oppure
aggiungendo e sottraendo 1 (viene la stessa cosa):
$(x^2-1+1)/(1+x) = ((x-1)(x+1))/(1+x) + 1/(1+x) = x-1 + 1/(1+x)
a questo punto integri questi tre addendi, moltiplichi il risultato per 1/2 e il gioco è fatto...

[Ingegnerepersbaglio]

quindi alla fine mi torna il log!.... che sola!

vabbè ultima cosa..... quest'integrale doppio, dove sbaglio?

dovrebbe essere un integrale per una circonferenza di centro (1;0) e raggio 1
$int_0^2dxint_0^sqrt(1-x^2)xydy$= $int_0^2(x/2-x^3/2)dx$= $|x^2/4-x^4/8|$da calcolare fra zero e due e quindi mi viene 1/8 ma non mi trovo col risultato!
Help

[fireball1]

"Ingegnerepersbaglio":quindi alla fine mi torna il log!.... che sola!

Certo che ti torna, ma alla fine dei conti, non dentro l'integrale! Per quello ti dicevo di integrare per parti,
così dentro l'integrale non avevi più logaritmi.

Per l'esercizio sull'int. doppio, ti chiede di integrare $xy$ sul cerchio di centro (1,0) e raggio 1?
In questo caso l'equazione della circonferenza è $(x-1)^2+y^2 =x^2-2x+1+y^2=1 <=>x^2+y^2-2x=0
e quindi il dominio di integrazione, in coordinate cartesiane è:
$Omega={(x,y) in RR^2 : 0<=x<=2, -sqrt(2x-x^2) <= y <= sqrt(2x-x^2)}

Guardando com'è fatto il dominio puoi anche evitare di fare i conti espliciti dell'integrale doppio,
infatti quando integri y (funzione dispari) su un intervallo simmetrico rispetto a y=0, come è $(-sqrt(2x-x^2),sqrt(2x-x^2))$,
il risultato è 0, e quindi l'integrale fa 0 senza bisogno di troppe pippe.

[Ingegnerepersbaglio]

nooooooooooooooooooooooooooooo usavo per il cerchio l'equazione $x^2+y^2=1$ sei stato gentilissimo! alla prossima