Integrale

[Knuckles1]

il prof ha svolto il seguente integrale: $\int (3sen^2x)/(1+3sen^2x)dx$ nel seguente modo:

Sapendo che $sen^2x=(tg^2x)/(1+tg^2x)$ l'int diventa:

$\int ((3tg^2x)/(1+tg^2x))/(1+(3tg^2x)/(1+tg^2x))dx$

poi pone $tgx=t$ ---> $\int (((3t^2)/(1+t^2))/(1+(3t^2)/(1+t^2)))(dt/(1+t^2))$

e poi l'esercizio continua.....

La domanda è: Come mai il $dx$ è diventato $dt/(1+t^2)$

Perchè ponendo $t=tgx$ ---> $dt= D[tgx]= 1/cos^2x= 1+tg^2x$ però arrivato a sto punto so solo come è dt, ma dx? magari la risp è banale ma proprio non riesco a capire... grazie ciao a tutti

[_Tipper]

Se $"tg"(x) = t$, allora $x = "arctg"(t)$, quindi...

[Knuckles1]

...quindi $dx= D[arctgt]=1/(t^2+1)$.... l'avevo sotto gli occhi ciao e grazie!

[Steven11]

No, attento.
$dx=D(arctgt)*dt=1/(1+t^2)*dt$

[Knuckles1]

ah ok grazie

un ultima cosa alla fine come risultato mi viene: $arctgt-1/2arctg2t +C$ con $t=tgx$

per cui diventa $arctg(tgx)-1/2arctg(2tgx) + C$ che è uguale a $x-1/2*2x=0$ non può essere così...ho sbagliato vero?

[_Tipper]

Non è vero che $"arctg"(2 "tg"(x)) = 2 "arctg"("tg"(x))$, quindi $"arctg"(2 "tg"(x)) \ne 2 x$.

[adaBTTLS1]

$arctg(tgx)=x$ ma $arctg(2tgx)$ è solo l'arco che ha tangente doppia rispetto ad x, non il doppio di x. dalle formule goniometriche ci si dovrebbe poter ricondurre, ma non è così immediato... ciao.