Integrale
scusate se continuo a tediarvi con i miei problemi irrisolti.
avrei bisogno del vostro aiuto in questo esercizio:
provare, senza calcolarne l'integrale che:
$(1/x^2)(sin^3) ( 1/x)$
è integrabile in ($2/pi$, più infinito)
calcolarne quindi l'integrale improprio.
grazie mille per la disponibilità, vostro alex
avrei bisogno del vostro aiuto in questo esercizio:
provare, senza calcolarne l'integrale che:
$(1/x^2)(sin^3) ( 1/x)$
è integrabile in ($2/pi$, più infinito)
calcolarne quindi l'integrale improprio.
grazie mille per la disponibilità, vostro alex
Risposte
Per $x \to +\infty$ la funzione è asintoticamente equivalente a $\frac{1}{x^5}$, questo basta per l'integrabilità.
"bad.alex":
scusate se continuo a tediarvi con i miei problemi irrisolti.
avrei bisogno del vostro aiuto in questo esercizio:
provare, senza calcolarne l'integrale che:
$(1/x^2)(sin^3) ( 1/x)$
è integrabile in ($2/pi$, più infinito)
calcolarne quindi l'integrale improprio.
grazie mille per la disponibilità, vostro alex
L'integrando è positivo ed infinitesimo in $+oo$ d'ordine $5>1$:imfatti si ha $lim_(xto +oo) (1/x^2*sin^3(1/x))/(1/x^5)=lim_(y to 0)((sin y)/y)^3=1$; un criterio di sommabilità ti dice che ciò basta per l'assoluta integrabilità (addirittura!).
Per il calcolo tieni presente che la sostituzione $y=1/x quad => quad " d"y=-1/x^2" d"x$ ti consente di ricondurti al calcolo di $\int_0^(pi/2)sin^3 y" d"y$ (che si risolve in pochi passaggi tenendo presente la relazione fondamentale $sin^2y+cos^2y=1$).
"Gugo82":
[quote="bad.alex"]scusate se continuo a tediarvi con i miei problemi irrisolti.
avrei bisogno del vostro aiuto in questo esercizio:
provare, senza calcolarne l'integrale che:
$(1/x^2)(sin^3) ( 1/x)$
è integrabile in ($2/pi$, più infinito)
calcolarne quindi l'integrale improprio.
grazie mille per la disponibilità, vostro alex
L'integrando è positivo ed infinitesimo in $+oo$ d'ordine $5>1$:imfatti si ha $lim_(xto +oo) (1/x^2*sin^3(1/x))/(1/x^5)=lim_(y to 0)((sin y)/y)^3=1$; un criterio di sommabilità ti dice che ciò basta per l'assoluta integrabilità (addirittura!).
Per il calcolo tieni presente che la sostituzione $y=1/x quad => quad " d"y=-1/x^2" d"x$ ti consente di ricondurti al calcolo di $\int_0^(pi/2)sin^3 y" d"y$ (che si risolve in pochi passaggi tenendo presente la relazione fondamentale $sin^2y+cos^2y=1$).[/quote]
ehm....da dove tiro fuori quell'1/x^5???grazie mille per le risposte.
Per definizione di una $f:]a,+oo[to RR$, che sia infinitesima in $+oo$, si dice che essa è un infinitesimo d'ordine $alpha$ in $+oo$ quando e solo quando sono entrambi finiti i limiti:
$lim_(x to +oo)(f(x))/(1/x^alpha) quad$ e $quad lim_(x to +oo) (1/x^alpha)/(f(x))$.
Nel nostro caso è $f(x)=1/x^2*sin^3(1/x)$ e si vede facilmente che se si vuole che i due limiti:
$lim_(x to +oo)(1/x^2*sin^3(1/x))/(1/x^alpha) quad$ e $quad lim_(x to +oo) (1/x^alpha)/(1/x^2*sin^3(1/x))$
siano finiti occorre scegliere $alpha=5$. Provare per credere!
$lim_(x to +oo)(f(x))/(1/x^alpha) quad$ e $quad lim_(x to +oo) (1/x^alpha)/(f(x))$.
Nel nostro caso è $f(x)=1/x^2*sin^3(1/x)$ e si vede facilmente che se si vuole che i due limiti:
$lim_(x to +oo)(1/x^2*sin^3(1/x))/(1/x^alpha) quad$ e $quad lim_(x to +oo) (1/x^alpha)/(1/x^2*sin^3(1/x))$
siano finiti occorre scegliere $alpha=5$. Provare per credere!
"Gugo82":
Per definizione di una $f:]a,+oo[to RR$, che sia infinitesima in $+oo$, si dice che essa è un infinitesimo d'ordine $alpha$ in $+oo$ quando e solo quando sono entrambi finiti i limiti:
$lim_(x to +oo)(f(x))/(1/x^alpha) quad$ e $quad lim_(x to +oo) (1/x^alpha)/(f(x))$.
Nel nostro caso è $f(x)=1/x^2*sin^3(1/x)$ e si vede facilmente che se si vuole che i due limiti:
$lim_(x to +oo)(1/x^2*sin^3(1/x))/(1/x^alpha) quad$ e $quad lim_(x to +oo) (1/x^alpha)/(1/x^2*sin^3(1/x))$
siano finiti occorre scegliere $alpha=5$. Provare per credere!
grazie mille. Finalmente ho capito: non ci sarei mai arrivato senza il vostro aiuto. vado a colmare anche queste lacune per oggi;) alex
"bad.alex":
[quote="Gugo82"]Per definizione di una $f:]a,+oo[to RR$, che sia infinitesima in $+oo$, si dice che essa è un infinitesimo d'ordine $alpha$ in $+oo$ quando e solo quando sono entrambi finiti i limiti:
$lim_(x to +oo)(f(x))/(1/x^alpha) quad$ e $quad lim_(x to +oo) (1/x^alpha)/(f(x))$.
Nel nostro caso è $f(x)=1/x^2*sin^3(1/x)$ e si vede facilmente che se si vuole che i due limiti:
$lim_(x to +oo)(1/x^2*sin^3(1/x))/(1/x^alpha) quad$ e $quad lim_(x to +oo) (1/x^alpha)/(1/x^2*sin^3(1/x))$
siano finiti occorre scegliere $alpha=5$. Provare per credere!
grazie mille. Finalmente ho capito: non ci sarei mai arrivato senza il vostro aiuto. vado a colmare anche queste lacune per oggi;) alex[/quote]
ritornando ad una vecchia questione: ma per trovarmi $1/x^5$ devo svolgermi i calcoli per verifica sino ad arrivare ad esponente 5 o è possibile un calcolo più veloce??? vi ringrazio, alex
Per certe cose servono esercizio ed un certo tipo di "vista" che si affina facendo esercizi (o chiamalo "intuito", se preferisci).
Procedi così: operando in $1/x^2*sin(1/x^3)$ la sostituzione $y=1/x$ trovi $y^2*sin(y^3)$; ora visto che quando $xto +oo$ si ha $y=1/x to 0$ (e viceversa), determinare l'ordine d'infinitesimo di $1/x^2*sin(1/x^3)$ in $+oo$ equivale a determinare l'ordine d'infinitesimo di $y^2*sin(y^3)$ in $0$.
Qui interviene un limite notevole: evidentemente si ha $lim_(y to 0) (siny^3)/y^3=1$ (discende direttamente dal limite notevole $lim_(z to 0) (sinz)/z=1$) e perciò moltiplicando e dividendo sotto il segno di limite per $y^2$ troviamo:
$lim_(y to 0) (y^2*siny^3)/y^5=1 quad$ ed anche $quad lim_(y to 0) y^5/(y^2*siny^3)=1$,
cosicchè $y^2*siny^3$ è un infinitesimo d'ordine $5$ in $0$.
Per quanto detto prima, la funzione $1/x^2*sin(1/x^3)$ è anch'essa infinitesima d'ordine $5$ ma in $+oo$.
Procedi così: operando in $1/x^2*sin(1/x^3)$ la sostituzione $y=1/x$ trovi $y^2*sin(y^3)$; ora visto che quando $xto +oo$ si ha $y=1/x to 0$ (e viceversa), determinare l'ordine d'infinitesimo di $1/x^2*sin(1/x^3)$ in $+oo$ equivale a determinare l'ordine d'infinitesimo di $y^2*sin(y^3)$ in $0$.
Qui interviene un limite notevole: evidentemente si ha $lim_(y to 0) (siny^3)/y^3=1$ (discende direttamente dal limite notevole $lim_(z to 0) (sinz)/z=1$) e perciò moltiplicando e dividendo sotto il segno di limite per $y^2$ troviamo:
$lim_(y to 0) (y^2*siny^3)/y^5=1 quad$ ed anche $quad lim_(y to 0) y^5/(y^2*siny^3)=1$,
cosicchè $y^2*siny^3$ è un infinitesimo d'ordine $5$ in $0$.
Per quanto detto prima, la funzione $1/x^2*sin(1/x^3)$ è anch'essa infinitesima d'ordine $5$ ma in $+oo$.
"Gugo82":
Per certe cose servono esercizio ed un certo tipo di "vista" che si affina facendo esercizi (o chiamalo "intuito", se preferisci).
Procedi così: operando in $1/x^2*sin(1/x^3)$ la sostituzione $y=1/x$ trovi $y^2*sin(y^3)$; ora visto che quando $xto +oo$ si ha $y=1/x to 0$ (e viceversa), determinare l'ordine d'infinitesimo di $1/x^2*sin(1/x^3)$ in $+oo$ equivale a determinare l'ordine d'infinitesimo di $y^2*sin(y^3)$ in $0$.
Qui interviene un limite notevole: evidentemente si ha $lim_(y to 0) (siny^3)/y^3=1$ (discende direttamente dal limite notevole $lim_(z to 0) (sinz)/z=1$) e perciò moltiplicando e dividendo sotto il segno di limite per $y^2$ troviamo:
$lim_(y to 0) (y^2*siny^3)/y^5=1 quad$ ed anche $quad lim_(y to 0) y^5/(y^2*siny^3)=1$,
cosicchè $y^2*siny^3$ è un infinitesimo d'ordine $5$ in $0$.
Per quanto detto prima, la funzione $1/x^2*sin(1/x^3)$ è anch'essa infinitesima d'ordine $5$ ma in $+oo$.
ti ringrazio gugo...mi darò da fare=)alex
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