Integrale

[Bob_inch]

$int sqrt (x^2-1) dx $

Io avrei in mente ina sotituzione del tipo x=cosh (t)

secondo voi ci potrebbe essere qualche altro modo?

[cozzataddeo]

La tua sostituzione va benissimo.
In alternativa si potrebbe procedere integrando per parti e applicando poi un piccolo trucchetto (sommare e sottrarre 1).

[Bob_inch]

grazie

[Bob_inch]

$int 1*sqrt(x^2-1) dx = x*sqrt(x^2-1) -int (x^2/sqrt(x^2-1) dx)=x*sqrt(x^2-1) - int(sqrt(x^2-1) dx) - int (1/sqrt( x^2-1) dx)$

è così che intendevi Cozza Taddeo? Sembra che si sia generato un circolo vizioso (apparente)... come faccio ad integrare l'ultimo membro?

[cozzataddeo]

"Bob_inch":$int 1*sqrt(x^2-1) dx = x*sqrt(x^2-1) -int (x^2/sqrt(x^2-1) dx)=x*sqrt(x^2-1) - int(sqrt(x^2-1) dx) - int (1/sqrt( x^2-1) dx)$

è così che intendevi Cozza Taddeo? Sembra che si sia generato un circolo vizioso (apparente)... come faccio ad integrare l'ultimo membro?

Perfetto, sei quasi giunto alla fine, è solo che non te ne rendi conto...

Posto

$I=intsqrt(x^2-1) dx$

tu sei arrivato a questa uguaglianza

$I = x*sqrt(x^2-1) - I - int (1/sqrt( x^2-1) dx)$

da cui si ricava

$2I = x*sqrt(x^2-1) - int (1/sqrt( x^2-1) dx)$

e poi

$I = 1/2(x*sqrt(x^2-1) - int (1/sqrt( x^2-1) dx))$

dove l'unico integrale rimasto a secondo membro è immediato (se non te lo ricordi sbircia qualche tavola di integrali immediati...in ogni caso sappi che ha a che fare con la funzione che volevi utilizzare tu per eseguire l'integrale mediante sostituzione... ).
Questa tecnica si ritrova anche nel calcolo per parti di integrali di funzioni trigonometriche, ad esempio $intsen^2xdx$ e $intcos^2xdx$

[stella891]

bravissimo:)xkè non risolvi anke le mie serie?smileee

[Bob_inch]

vero, è immediato.. grazie mille...
è immediato ma non molto noto

cmq il risultato del libro differisce per il segno dell'ultimo membro, dovrebbe essere $+ 1/2 log (x + sqrt (x^2+1))$...

cmq per ora sto avendo un indigestione di analisi

[cozzataddeo]

Concordo, l'ultimo integrale non è molto noto (ad essere sincero sono andato anch'io a vedermi una tabella di integrali immediati, perché sapevo che l'avrei trovato lì ma non ero sicuro di quale fosse la primitiva ).

Se ho ben capito il risultato del tuo libro è

$I=1/2(xsqrt(x^2-1)+log(x+sqrt(x^2-1)))+c$

mentre il nostro è

$I=1/2(xsqrt(x^2-1)-log(x+sqrt(x^2-1)))+c$

Be' in analisi non c'è niente di più facile che verificare la correttezza del calcolo di un primitiva! E' sufficiente calcolarne la derivata e vedere se salta fuori la funzione integranda.
Esegui la verifica per i due risultati e scopri chi ha ragione (io non ti voglio rovinare la sorpresa... ).

Per l'indigestione non posso farci niente: l'ho avuta anch'io quand'è stato il mio momento. Tieni duro e vedrai che soddisfazione dopo aver superato l'esame!

In bocca al lupo!