Integrale
Calcolare:
$oint_Gammaz^2*sen(1/(z+pi))*dz$,essendo $Gamma={zinCC:|z+pi/2|=pi}
$oint_Gammaz^2*sen(1/(z+pi))*dz$,essendo $Gamma={zinCC:|z+pi/2|=pi}
Risposte
La curva $\Gamma$ è una circonferenza con centro $-\pi/2$ e di raggio $\pi$.
$sin((1)/(z + \pi))$ ha una singolarità essenziale in $z = -\pi$, e quindi all'interno di $\Gamma$.
$sin((1)/(z + \pi))$ si sviluppa in serie di Laurent così:
$sin((1)/(z + \pi))= (1)/(z + \pi) - (1)/(3!)*(1)/(z + \pi)^3 + 1/(5!)* (1)/(z + \pi)^5 - ...$
Sapendo che:
$z^2 = (z + \pi)^2 - 2\pi (z + \pi) + \pi^2$
il residuo di $f(z) = z^2 sin((1)/(z + \pi))$ è quindi
$Res_{z = \-pi} f(z) = -1/6 + \pi^2$
Per il teorema dei residui:
$\oint_{\Gamma} f(z) dz = 2*\pi i *(-1/6 + pi^2) = -1/3\pi i + 2 \pi^3 i$
$sin((1)/(z + \pi))$ ha una singolarità essenziale in $z = -\pi$, e quindi all'interno di $\Gamma$.
$sin((1)/(z + \pi))$ si sviluppa in serie di Laurent così:
$sin((1)/(z + \pi))= (1)/(z + \pi) - (1)/(3!)*(1)/(z + \pi)^3 + 1/(5!)* (1)/(z + \pi)^5 - ...$
Sapendo che:
$z^2 = (z + \pi)^2 - 2\pi (z + \pi) + \pi^2$
il residuo di $f(z) = z^2 sin((1)/(z + \pi))$ è quindi
$Res_{z = \-pi} f(z) = -1/6 + \pi^2$
Per il teorema dei residui:
$\oint_{\Gamma} f(z) dz = 2*\pi i *(-1/6 + pi^2) = -1/3\pi i + 2 \pi^3 i$
Io ho fatto così:
Posto $1/(z+pi)=t => z+pi=1/t => dz=-1/t^2dt
pertanto la funzione integranda diventa la seguente:
$f(t)=(1-pi*t)^2/t^4*sent$ (a meno di un segno meno che consideriamo alla fine per comodità)
sviluppando il seno(
) si ha che $f(t)=(1-pi*t)2/t^4*[t-1/(3!)*t^3+1/(5!)*t^5-1/(7!)*t^7+...]=
$=1/t^4*[t-1/6*t^3+....]-(2pi)/t^3*[t-1/6*t^3+...]+pi^2/t^2*[t-1/6*t^3+...]
da cui,per definizione di residuo,$c_(-1)=-1/6+pi^2$
Ricordandoci del meno tralasciato all'inizio si ha che l'integrale vale $-2pi*i*c_(-1)=-2pi*i*(pi^2-1/6)=(pi*i)/3-2pi^3*i
in pratica il risultato ottenuto ha i segni scambiati rispetto al tuo;come mai?
Posto $1/(z+pi)=t => z+pi=1/t => dz=-1/t^2dt
pertanto la funzione integranda diventa la seguente:
$f(t)=(1-pi*t)^2/t^4*sent$ (a meno di un segno meno che consideriamo alla fine per comodità)
sviluppando il seno(
) si ha che $f(t)=(1-pi*t)2/t^4*[t-1/(3!)*t^3+1/(5!)*t^5-1/(7!)*t^7+...]=$=1/t^4*[t-1/6*t^3+....]-(2pi)/t^3*[t-1/6*t^3+...]+pi^2/t^2*[t-1/6*t^3+...]
da cui,per definizione di residuo,$c_(-1)=-1/6+pi^2$
Ricordandoci del meno tralasciato all'inizio si ha che l'integrale vale $-2pi*i*c_(-1)=-2pi*i*(pi^2-1/6)=(pi*i)/3-2pi^3*i
in pratica il risultato ottenuto ha i segni scambiati rispetto al tuo;come mai?
Ma le sostituzioni le puoi fare anche con gli integrali complessi? 
Non lo sapevo...
(PS: sto facendo anche io le tue stesse cose, quindi non so proprio...)
Non lo sapevo...
(PS: sto facendo anche io le tue stesse cose, quindi non so proprio...)
"pat87":
Ma le sostituzioni le puoi fare anche con gli integrali complessi?
Non lo sapevo...
Ho spostato la singolarità nell'origine...certo che si può
non riesco a capire il perchè dei 2 diversi risultati
"pat87":
Ma le sostituzioni le puoi fare anche con gli integrali complessi?
Non lo sapevo...
(PS: sto facendo anche io le tue stesse cose, quindi non so proprio...)
Io ho già sostenuto,con successo,l'esame ma ogni tanto riprendo a fare esercizi di analisi complessa perchè è davvero molto affascinante e molto vasta!
Ti giuro non ho mai visto fare una sostituzione nei complessi, è la prima volta che la vedo...
Domani provo a vedere con qualche esempio se funziona... se è così, grazie mille!
Domani provo a vedere con qualche esempio se funziona... se è così, grazie mille!
"pat87":
Ti giuro non ho mai visto fare una sostituzione nei complessi, è la prima volta che la vedo...
Domani provo a vedere con qualche esempio se funziona... se è così, grazie mille!
Puoi metterci la mano sul fuoco;naturalmente ricorda che anche la curva cambia...
Probabilmente il $-$ viene perchè la trasformazione $t=1/(z+pi)$ inverte l'orientamento di $Gamma$. Che dite?
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