Integrale
come si risolve:
∫[1/(1+z^n )] dz
con l'integrale compreso tra 0 e +∞?
Ho trovato dei cenni alla teoria dei residui....
∫[1/(1+z^n )] dz
con l'integrale compreso tra 0 e +∞?
Ho trovato dei cenni alla teoria dei residui....
Risposte
"tom19.83":
come si risolve:
∫[1/(1+z^n )] dz
con l'integrale compreso tra 0 e +∞?
Ho trovato dei cenni alla teoria dei residui....
z nel tuo caso è reale, giusto?
sì, z reale
"tom19.83":
sì, z reale compresa tra 0 e 1
Ok!
Giusto per non fare confusione immaginiamo che la tua z sia x. Quindi devi fare $int_-oo^oo1/(1+x^n)dx$
Ho cambiato gli estremi ma non cambia molto il risultato.
siccome questo integrale non lo si riesce a risolvere in $RR$ si passa all'insieme dei numeri complessi e dalla variabile reale x alla variabile complessa z. z=Re[z]+i Im[z]
Si studia quindi l'integrale di variabile complessa: $int_D1/(1+z^n)dz$ dove D è un opportuno dominio di integrazione. Questo dominio di integrazione è una semicirconferenza di raggio R (questo raggio è scelto, non a caso, ma con criteri precisi che non ti riporto) giacente nel semipiano complesso (ascisse=Re[z], ordinate=Im[z]) e il cui diametro è sull'asse reale e lil centro coincidente con il centro degli assi. L'integrale di f(z) quindi lo possiamo spezzare in 2, un'integrale di linea lungo il diametro (quindi da -R a +R) e uno esteso al semicerchio
$int_-R^R1/(1+z^n)+int_(semiC)1/(1+z^n)dz$. Ora l'integrale di linea lungo il diametro, cioè il pezzo $int_-R^R1/(1+z^n)dx $ essendo sull'asse reale fa si che la variabile z della funzione integranda sia reale, cioè $z->x$ z diventa nuovamente x.
Esiste poi il Lemma di Jordan che dice che se faccio tendere il raggio R della semicirconferenza a $+oo$ il pezzo $int_(semiC)1/(1+z^n)dz$ va a zero, mentre $int_-R^R1/(1+x^n)dx $ diventa $int_-oo^oo1/(1+x^n) dx$ (ed è il nostro integrale di partenza che dobbiamo calcolare!!!) è uguale a: $2piiSigma_kR_k$.
Quindi abbiamo ottenuto che: $int_D1/(1+z^n)dz=int_-R^R1/(1+z^n)+int_(semiC)1/(1+z^n)dz$ facendo tendere R a +infinito $int_D1/(1+z^n)dz=int_-oo^oo1/(1+x^n) dx + 0 = int_-oo^oo1/(1+x^n) dx=2piiSigma_kR_k$
$R_k$ sono i cosiddetti residui della funzione f(z). Cioè Jordan ci dice che l'integrale di partenza della tua funzione di variabile reale è uguale a: $2pi$ per la somma di tutti i residui associati a f(z) (stessa funzione di partenza in cui a x abbiamo sostituito la variabile complessa z).
Per capire cosa sono i residui occorre un pò di analisi complessa.
Mi rendo conto che non sono stato molto chiaro ma l'argomento non è breve
Ecco ho aggiustato delle cose. Ora va bene. Guarda, sembra difficile, ma ti posso dire che non lo è. Non farti impressionare da tutti quegli integrali
Si può dimostrare (è anche abbastanza semplice) che risulta
$int_0^(+oo) 1/(1+x^n) dx = (pi/n)/sin(pi/n)$
$int_0^(+oo) 1/(1+x^n) dx = (pi/n)/sin(pi/n)$
"raff5184":
Esiste poi il Lemma di Jordan che dice che se faccio tendere il raggio R della semicirconferenza a $+oo$ il pezzo $int_(semiC)1/(1+z^n)dz$ va a zero
Il lemma di Jordan riguarda funzioni in cui compare un esponenziale complesso. Quello di cui parli tu invece è il lemma del grande cerchio.
"Kroldar":
[quote="raff5184"]
Esiste poi il Lemma di Jordan che dice che se faccio tendere il raggio R della semicirconferenza a $+oo$ il pezzo $int_(semiC)1/(1+z^n)dz$ va a zero
Il lemma di Jordan riguarda funzioni in cui compare un esponenziale complesso. Quello di cui parli tu invece è il lemma del grande cerchio.[/quote]
Se non vado errato sul libro di L.Amerio è riportato come lemma di Jordan... O almeno così lo chiamava il nostro prof di metodi matematici. Cmq grazie per la precisazione.
"Kroldar":
Si può dimostrare (è anche abbastanza semplice) che risulta
$int_0^(+oo) 1/(1+x^n) dx = (pi/n)/sin(pi/n)$
Grazie per i chiarimenti.
Ho seguito i tuoi consigli e sono arrivato a (1-e^(j2π/n)) "per l'integrale" = 2πj R[e^jπn]
Ma non riesco a calcolare il residuo. Una volta trovato comunque poi il risultato dovrebbe essere banale.
Cmq, se non hai tempo non disturbarti.
Ci riproverò con calma.
"raff5184":
Se non vado errato sul libro di L.Amerio è riportato come lemma di Jordan... O almeno così lo chiamava il nostro prof di metodi matematici. Cmq grazie per la precisazione.
Forse docenti diversi usano nomi diverse per questi lemmi. Io mi sono basato sul testo di L.Greco.
"raff5184":
Giusto per non fare confusione immaginiamo che la tua z sia x. Quindi devi fare $int_-oo^oo1/(1+x^n)dx$
[...]
Questo metodo per risolvere gli integrali, sebbene valido in molti casi, non è applicabile nel nostro. L'integrale richiesto, infatti, non va da $-oo$ a $+oo$, ma da $0$ a $+oo$. Tuttavia, la funzione integranda è pari solo per $n$ pari. Per $n$ dispari, invece, le cose cambiano. Occorre pertanto un procedimento diverso.
Anziché integrare lungo una semicirconferenza di raggio infinito, si deve scegliere come curva di integrazione il bordo di un settore circolare. Una volta postai la dimostrazione, anche se non ricordo più in quale post.
"Kroldar":
[quote="raff5184"]
Giusto per non fare confusione immaginiamo che la tua z sia x. Quindi devi fare $int_-oo^oo1/(1+x^n)dx$
[...]
Questo metodo per risolvere gli integrali, sebbene valido in molti casi, non è applicabile nel nostro. L'integrale richiesto, infatti, non va da $-oo$ a $+oo$, ma da $0$ a $+oo$. Tuttavia, la funzione integranda è pari solo per $n$ pari. Per $n$ dispari, invece, le cose cambiano. Occorre pertanto un espediente diverso.
Anziché integrare lungo una semicirconferenza di raggio infinito, si deve scegliere come curva di integrazione il bordo di un settore circolare. Una volta postai la dimostrazione, anche se non ricordo più in quale post.[/quote]
in effetti ci avevo pensato. Se n fosse pari, a meno di un fattore di 1/2 il ragionamento sarebbe valido. Ma con n dispari... hai ragione!
Ma si va comunque nell'analisi complessa?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo