INTEGRALE
ciao..qualcuno saprebbe dirmi come si risolve il seguente integrale?grazie in anticipo!!
$int(1)/((1+x^2)^2)dx$
$int(1)/((1+x^2)^2)dx$
Risposte
Ponendo $"arctg"(x) = t$, da cui $\frac{1}{1 + x^2} dx = dt$, e $x = "tg"(t)$, si ottiene
$\int \frac{1}{1 + "tg"^2(t)} dt$
Aggiundendo e togliendo $"tg"^2(t)$ al numeratore si ottiene
$\int (1 - \frac{"tg"^2(t)}{1 + "tg"^2(t)})dt$
Lasciando perdere l'$1$, l'altro termine si può scrivere così
$\int \frac{"tg"^2(t)}{1 + "tg"^2(t)} dt = \int \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \sin(2t) dt = \int \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \cdot 2\sin(t) \cos(t)dt$*
e ora è facile.
*EDIT: forse è meglio se lo dico, ho usato le formule parametriche, secondo cui $\frac{"tg"(\frac{x}{2})}{1 + "tg"^2(\frac{x}{2})} = \sin(x)$
$\int \frac{1}{1 + "tg"^2(t)} dt$
Aggiundendo e togliendo $"tg"^2(t)$ al numeratore si ottiene
$\int (1 - \frac{"tg"^2(t)}{1 + "tg"^2(t)})dt$
Lasciando perdere l'$1$, l'altro termine si può scrivere così
$\int \frac{"tg"^2(t)}{1 + "tg"^2(t)} dt = \int \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \sin(2t) dt = \int \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \cdot 2\sin(t) \cos(t)dt$*
e ora è facile.
*EDIT: forse è meglio se lo dico, ho usato le formule parametriche, secondo cui $\frac{"tg"(\frac{x}{2})}{1 + "tg"^2(\frac{x}{2})} = \sin(x)$
Ciao Tipper, tutto ok tranne una piccola cosa:
mi pare che nell'integrale vi sia un 2 di troppo dovuto al fatto che manca nella formula parametrica.
Ciao
mi pare che nell'integrale vi sia un 2 di troppo dovuto al fatto che manca nella formula parametrica.
Ciao
No luluemicia, mi pare vada bene così...
Ciao Tipper,
a prescindere dalla parametrica (dove mi trovo sempre il famoso 2), prova a non usarla e nell'integrale sostituisci al posto della tangente il rapporto tra il seno ed il coseno.....
Ciao
a prescindere dalla parametrica (dove mi trovo sempre il famoso 2), prova a non usarla e nell'integrale sostituisci al posto della tangente il rapporto tra il seno ed il coseno.....
Ciao
Scusa, e perché non dovrei usare la parametrica?! 
Ah, ho capito cosa intendi... Se non uso la parametrica mi viene semplicemente $\sin^2(t)$... avrò sbagliato a scrivere qualche formula...
Infatti mi sbagliavo, la formula esatta è $\frac{2 "tg"(\frac{x}{2})}{1 + "tg"^2(\frac{x}{2})} = \sin(x)$, quindi
$\int \frac{"tg"^2(t)}{1 + "tg"^2(t)} dt = \int \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \frac{1}{2} \frac{2 "tg"(t)}{1 + "tg"^2(t)} dt = \int \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \frac{1}{2} \sin(2t) dt = \int \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \frac{1}{2} 2 \sin(t) \cos(t) dt = \int \sin^2(t) dt$
e ora, oltre ad essere facile, è pure giusto.
Chiedo scusa per la svista.
$\int \frac{"tg"^2(t)}{1 + "tg"^2(t)} dt = \int \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \frac{1}{2} \frac{2 "tg"(t)}{1 + "tg"^2(t)} dt = \int \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \frac{1}{2} \sin(2t) dt = \int \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \frac{1}{2} 2 \sin(t) \cos(t) dt = \int \sin^2(t) dt$
e ora, oltre ad essere facile, è pure giusto.
Chiedo scusa per la svista.
Qualcuno mi sa far vedere come si svolge l'integrale per parti di sen^2(x) in dx?
Grazie mille in anticipo
Grazie mille in anticipo
In verità conviene farlo usando le formule di bisezione ma se vuoi applicare per parti viene così: dopo aver applicato la formula (pensando un seno la derivata di - coseno) devi sfruttare la prima relazione fondamentale della goniometria. Ritrovi l'integrale di partenza, lo porti a sinistra e tutto va a posto.
Ciao
Ciao
grazie mille
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