Integrale..
Salve, chi mi dà un aiutino con questo integrale?
$int_-2^-1 (x+3)/(x * sqrt(x+2)) dx$
$int_-2^-1 (x+3)/(x * sqrt(x+2)) dx$
Risposte
Bello tosto questo integrale 
Il derive mi restituisce $3*sqrt(2)*\log(sqrt(2)-1)+2$.
Di più non posso dire (diverse ore di studio di algebra hanno sortito il loro effetto
)
Il derive mi restituisce $3*sqrt(2)*\log(sqrt(2)-1)+2$.
Di più non posso dire (diverse ore di studio di algebra hanno sortito il loro effetto
)
ciao, cominciamo col sostituire $sqrt(x+2)=t$,per cui $x=((t^2)-2)$ e allora $dx=2t dt$
per cui abbiamo $ 2int(((t^2)+1)/((t^2)-2))dt $
ora dividendo si ha: $(((t^2)+1))/(((t^2)-2))= 1+3/(((t^2)-2))dt $
l'integrale diviene: $ 2int(1+3/(((t^2)-2)))dt
che è uguale a : $2t + 6 int 1/(((t^2)-2))dt $
essendo $((t^2)-2)= (t+sqrt(2))(t-sqrt(2))$
abbiamo: $A/(t+sqrt(2))+B/((t-sqrt(2)))$ = $(At-sqrt(2)A+Bt+sqrt(2)B)/(((t^2)-2)) $
==> $A=-(sqrt(2))/4$ e $B=(sqrt(2))/4$
l'integrale è diventato: $2t - (3sqrt(2))/2int 1/(t+sqrt(2))dt +(3sqrt(2))/2 int 1/(t-sqrt(2)) dt$
gli integrali sono immediati per cui abbiamo :
$ 2t + (3sqrt(2))/2 ln((|t-sqrt(2)|)/(|t+sqrt(2)|))$
ricordando la sostituzione diventa
$ 2 sqrt(x+2) + (3sqrt(2))/2 ln ((|sqrt(x+2)-sqrt(2)|)/(|sqrt(x+2)+sqrt(2)|))$ calcolato tra $-2$ e $-1$
applicando le proprietà dei logaritmi per cui quell' $1/2$ fuori dal logaritmo lo portiamo dentro mettendo l'argomento sotto radice, e poi razionalizzando moltiplicando numeratore e denominatore per $(1-sqrt(2))$, si ha proprio il risultato del Derive :
$2+ 3sqrt(2) ln (sqrt(2)-1) $
per cui abbiamo $ 2int(((t^2)+1)/((t^2)-2))dt $
ora dividendo si ha: $(((t^2)+1))/(((t^2)-2))= 1+3/(((t^2)-2))dt $
l'integrale diviene: $ 2int(1+3/(((t^2)-2)))dt
che è uguale a : $2t + 6 int 1/(((t^2)-2))dt $
essendo $((t^2)-2)= (t+sqrt(2))(t-sqrt(2))$
abbiamo: $A/(t+sqrt(2))+B/((t-sqrt(2)))$ = $(At-sqrt(2)A+Bt+sqrt(2)B)/(((t^2)-2)) $
==> $A=-(sqrt(2))/4$ e $B=(sqrt(2))/4$
l'integrale è diventato: $2t - (3sqrt(2))/2int 1/(t+sqrt(2))dt +(3sqrt(2))/2 int 1/(t-sqrt(2)) dt$
gli integrali sono immediati per cui abbiamo :
$ 2t + (3sqrt(2))/2 ln((|t-sqrt(2)|)/(|t+sqrt(2)|))$
ricordando la sostituzione diventa
$ 2 sqrt(x+2) + (3sqrt(2))/2 ln ((|sqrt(x+2)-sqrt(2)|)/(|sqrt(x+2)+sqrt(2)|))$ calcolato tra $-2$ e $-1$
applicando le proprietà dei logaritmi per cui quell' $1/2$ fuori dal logaritmo lo portiamo dentro mettendo l'argomento sotto radice, e poi razionalizzando moltiplicando numeratore e denominatore per $(1-sqrt(2))$, si ha proprio il risultato del Derive :
$2+ 3sqrt(2) ln (sqrt(2)-1) $
Era molto più immediato di quanto pensassi 
ok.. grazie mille. Il passaggio che mi mancava era quello della divisione con resto. Ho comunque alcuni dubbi su come si fa a stabilire a priori che una funzione sia integrabile: senza ricorre alla definizione in questo caso sapendo che le funzioni continue a tratti sono integrabili basta dire che la funzione appartiene a questa classe e quindi è integrabile anche se un punto di discontinuita è proprio un estremo d'integrazione, giusto?
credo che la funzione sia integrabile (in senso generalizzato) perchè
$lim_(c->-2^+)$$int_c^1(x+3)/(xsqrt(x+2))dx$
è un valore finito.
per dire se è integrabile puoi ricorrere ai teoremi del confronto o del confronto asintotico.
$lim_(c->-2^+)$$int_c^1(x+3)/(xsqrt(x+2))dx$
è un valore finito.
per dire se è integrabile puoi ricorrere ai teoremi del confronto o del confronto asintotico.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo