Integrale
Calcolare nel modo più semplice possibile il seguente integrale:
$int_(0)^(2pi)dx/(4+3cosx+2senx)
$int_(0)^(2pi)dx/(4+3cosx+2senx)
Risposte
Cmq porre $sinx = sqrt(1-cos^2x)$ potrebbe essere riduttivo. A $7/4 pi$ ad esempio, è $cosx = sqrt(2)/2$, ma se metti questo valore nella formula $sinx = sqrt(1-cos^2x)$ risulta $sinx = sqrt(2)/2$, che non è esatto. Che ne pensi?
Sono d'accordo. In realtà la relazione vera è $|sinx|=sqrt(1-cos^2x)$. Secondo me però, vista l'interpretazione complessa
del "nostro" $sinx$, non ha senso parlare di positività-negatività.
del "nostro" $sinx$, non ha senso parlare di positività-negatività.
Credo che si debba ricorrere alle formule di Eulero:
$sinx = (e^(jx) - e^(-jx))/(2j)$
Cosicché $sinx = (z-z^(-1))/(2j)$.
Nella dimostrazione che conosco io è fatto così almeno.
$sinx = (e^(jx) - e^(-jx))/(2j)$
Cosicché $sinx = (z-z^(-1))/(2j)$.
Nella dimostrazione che conosco io è fatto così almeno.
Ok. Resta però (a me!) il dubbio di quale sia il polo interno alla circonferenza.
Sai per caso in base a cosa scegliere uno dei due?
Sai per caso in base a cosa scegliere uno dei due?
Sinceramente non mi sono mai posto il problema di quale polo sia interno alla circonferenza 
Partendo dalla formula
$-2j oint_C 1/((a-bj)z^2+2cz+a+bj) dz$
possiamo porre $lambda = a-jb != 0$ e l'integrale diventa
$-2j oint_C 1/(lambdaz^2+2cz+bar lambda) dz = -2j oint_C 1/(lambda (z-z_1)(z-z_2)) dz $
dove $z_1$ e $z_2$ sono i poli della funzione.
Come hai detto già tu, si può dimostrare che uno dei due poli è interno alla circonferenza e un altro no.
Senza soffermarci troppo, diciamo che il polo interno è $z_1$ e dunque l'integrale cercato vale
$-2j oint_C 1/(lambda (z-z_1)(z-z_2)) dz = -2j * 2pij * Res[z_1] = 4pi * Res[z_1]$
Notiamo ora che
$Res[z_1] = 1/(lambda(z_1-z_2)) = 1/(- + 2sqrt(c^2-|lambda|^2))$
A questo punto la soluzione è determinata a meno del segno, ma dalle ipotesi iniziali sappiamo che la funzione
integranda di partenza è sempre concorde con $c$ e quindi la scelta tra il segno $-$ e il segno $+$ è dettata dal segno di $c$.
Partendo dalla formula
$-2j oint_C 1/((a-bj)z^2+2cz+a+bj) dz$
possiamo porre $lambda = a-jb != 0$ e l'integrale diventa
$-2j oint_C 1/(lambdaz^2+2cz+bar lambda) dz = -2j oint_C 1/(lambda (z-z_1)(z-z_2)) dz $
dove $z_1$ e $z_2$ sono i poli della funzione.
Come hai detto già tu, si può dimostrare che uno dei due poli è interno alla circonferenza e un altro no.
Senza soffermarci troppo, diciamo che il polo interno è $z_1$ e dunque l'integrale cercato vale
$-2j oint_C 1/(lambda (z-z_1)(z-z_2)) dz = -2j * 2pij * Res[z_1] = 4pi * Res[z_1]$
Notiamo ora che
$Res[z_1] = 1/(lambda(z_1-z_2)) = 1/(- + 2sqrt(c^2-|lambda|^2))$
A questo punto la soluzione è determinata a meno del segno, ma dalle ipotesi iniziali sappiamo che la funzione
integranda di partenza è sempre concorde con $c$ e quindi la scelta tra il segno $-$ e il segno $+$ è dettata dal segno di $c$.
Ok! Ci ero andato vicino... 
Infatti, era solo questione di qualche dettaglio. Se vuoi ti puoi cimentare nell'altro esercizio proposto, dove si richiede di trovare una formula analoga, nel caso in cui il denominatore sia elevato al quadrato 
Salve a tutti
Devo calcolare il seguente integrale:
$ int(1/x^3)arctan(1/x)dx$
opero una sostituzione:
$1/x=t$
$dx=-1/t^2$
$ -int(t^3)arctan(t)*1/t^2dt=-int(t)arctan(t)dt=...??$
A questo punto non riesco a procedere
Grazie a chi mi aiuterà
Giovanni C.
Devo calcolare il seguente integrale:
$ int(1/x^3)arctan(1/x)dx$
opero una sostituzione:
$1/x=t$
$dx=-1/t^2$
$ -int(t^3)arctan(t)*1/t^2dt=-int(t)arctan(t)dt=...??$
A questo punto non riesco a procedere
Grazie a chi mi aiuterà
Giovanni C.
Per parti: integra $t$ a deriva $"arctg"(t)$.
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