Integrale
Calcolare nel modo più semplice possibile il seguente integrale:
$int_(0)^(2pi)dx/(4+3cosx+2senx)
$int_(0)^(2pi)dx/(4+3cosx+2senx)
Risposte
"Aeneas":
Calcolare nel modo più semplice possibile il seguente integrale:
$int_(0)^(2pi)dx/(4+3cosx+2senx)
$t=tg(x/2)$
E,mio Nicola,per una volta conduco io il gioco! 
C'è un metodo assai più sbrigativo!
C'è un metodo assai più sbrigativo!
si può fare con la sostituzione $ e^(ix)=z $ ma non sono sicuro che sia tanto sbrigativo
lo butto nel derive
me lo fà in 0.030 secondi uhuhuhuh!!!
me lo fà in 0.030 secondi uhuhuhuh!!!
Se fosse stato
$int_0^(2pi)dx/(1+3cosx+2senx)$
il risultato non sarebbe "immediato" come l'integrale dato;
Se invece era
$int_0^(2pi)dx/(7-3cosx+5senx)$
si sarebbe potuto applicare tale metodo.
$int_0^(2pi)dx/(1+3cosx+2senx)$
il risultato non sarebbe "immediato" come l'integrale dato;
Se invece era
$int_0^(2pi)dx/(7-3cosx+5senx)$
si sarebbe potuto applicare tale metodo.
Si può dimostrare che dato l'integrale
$int_0^(2pi) (dx)/(a+bcosx+csinx)$
con $a$,$b$,$c$ tali che sia $a^2 > b^2 + c^2$, allora risulta
$int_0^(2pi) (dx)/(a+bcosx+csinx) = 2pi (sgn(a))/sqrt(a^2-b^2-c^2)$.
La condizione $a^2 > b^2 + c^2$ assicura che il denominatore non si annulli e sia concorde con $a$ per ogni valore di $x$.
$int_0^(2pi) (dx)/(a+bcosx+csinx)$
con $a$,$b$,$c$ tali che sia $a^2 > b^2 + c^2$, allora risulta
$int_0^(2pi) (dx)/(a+bcosx+csinx) = 2pi (sgn(a))/sqrt(a^2-b^2-c^2)$.
La condizione $a^2 > b^2 + c^2$ assicura che il denominatore non si annulli e sia concorde con $a$ per ogni valore di $x$.
"Aeneas":
Calcolare nel modo più semplice possibile il seguente integrale:
$int_(0)^(2pi)dx/(4+3cosx+2senx)
Per quanto detto nel post precedente, questo integrale è pari a $(2pi)/sqrt(3)$.
"Aeneas":
:wink:
Visto che hai lanciato la provocazione (scherzo ovviamente
) ora hai anche il risultato, prova a calcolarlo con la sostituzione che volevi fare, così ti ripassi pure l'analisi complessa... 
"nicola de rosa":
[quote="Aeneas"]:wink:
Visto che hai lanciato la provocazione (scherzo ovviamente
) ora hai anche il risultato, prova a calcolarlo con la sostituzione che volevi fare, così ti ripassi pure l'analisi complessa... [/quote]Il metodo da applicare era proprio quello di Kroldar....
Molto tempo fa proposi un esercizio sul forum, ma poi cadde nel dimenticatoio. Visto che siamo in tema, ne propongo ora una semplice applicazione che si rifà all'esercizio postato da Aeneas.
Calcolare il seguente integrale:
$int_0^(2pi) dx/(4+3cosx+2senx)^2$
Calcolare il seguente integrale:
$int_0^(2pi) dx/(4+3cosx+2senx)^2$
Un aiutino?!
Si deve trovare una formula sul tipo di questa
Ovviamente la formula va adattata tenendo conto del fatto che il denominatore stavolta è elevato al quadrato.
$int_0^(2pi) (dx)/(a+bcosx+csinx) = 2pi (sgn(a))/sqrt(a^2-b^2-c^2)$
Ovviamente la formula va adattata tenendo conto del fatto che il denominatore stavolta è elevato al quadrato.
Ho trovato il topic dove proposi questo esercizio:
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=10017
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=10017
Per quanto detto qui http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=20546 mi sono interessato
all'argomento e ho trovato una dimostrazione della formula citata da Kroldar.
$int_0^(2pi) 1/(acosx+bsinx+c) dx= oint_C ((dz)/(jz))/(a/2[z+1/z]+(bj)/2[z-1/z]+c)$ ($C$ è la circonferenza $|z|=1$),
dove si è sfruttato il fatto che $sin x= sqrt (1-[1/2(z+1/z)]^2)=j/2[z-1/z]$.
Ora l'integrale si può scrivere meglio come $-2j oint_C 1/((a+bj)z^2+2cz+a-bj) dz$.
I poli $p$ e $q$ della funzione integranda sono 2, ed è facile (?) verificare che solo uno
dei due è all'interno di $C$ (si potrebbe sfruttare il fatto che $pq=a-bj$). Il polo di interesse è in
$z=p=1/(a^2+b^2)[bsqrt(a^2+b^2-c^2)sign(a^2+b^2-c^2)+asqrt(-a^2-b^2+c^2)-ac+jbc]$.
Il residuo è $Res[1/((a+bj)z^2+2cz+a-bj),p]=1/( 2(a+bj)p+ 2c )=1/(2sqrt(c^2-a^2-b^2))$,
quindi l'integrale di partenza vale $(2*(-2)*pi*j*j)/(2sqrt(c^2-a^2-b^2))=(2pi)/(sqrt(c^2-a^2-b^2))$.
La perplessità che ho è su quel $sign(c)$ che compare nella formula. Vedete forse l'inghippo?
all'argomento e ho trovato una dimostrazione della formula citata da Kroldar.
$int_0^(2pi) 1/(acosx+bsinx+c) dx= oint_C ((dz)/(jz))/(a/2[z+1/z]+(bj)/2[z-1/z]+c)$ ($C$ è la circonferenza $|z|=1$),
dove si è sfruttato il fatto che $sin x= sqrt (1-[1/2(z+1/z)]^2)=j/2[z-1/z]$.
Ora l'integrale si può scrivere meglio come $-2j oint_C 1/((a+bj)z^2+2cz+a-bj) dz$.
I poli $p$ e $q$ della funzione integranda sono 2, ed è facile (?) verificare che solo uno
dei due è all'interno di $C$ (si potrebbe sfruttare il fatto che $pq=a-bj$). Il polo di interesse è in
$z=p=1/(a^2+b^2)[bsqrt(a^2+b^2-c^2)sign(a^2+b^2-c^2)+asqrt(-a^2-b^2+c^2)-ac+jbc]$.
Il residuo è $Res[1/((a+bj)z^2+2cz+a-bj),p]=1/( 2(a+bj)p+ 2c )=1/(2sqrt(c^2-a^2-b^2))$,
quindi l'integrale di partenza vale $(2*(-2)*pi*j*j)/(2sqrt(c^2-a^2-b^2))=(2pi)/(sqrt(c^2-a^2-b^2))$.
La perplessità che ho è su quel $sign(c)$ che compare nella formula. Vedete forse l'inghippo?
Innanzitutto complimenti, poiché hai centrato la strada da seguire
Veniamo ora ai conti...
Mi sembra che sia
$-2j oint_C 1/((a-bj)z^2+2cz+a+bj) dz$
Veniamo ora ai conti...
"elgiovo":
Ora l'integrale si può scrivere meglio come $-2j oint_C 1/((a+bj)z^2+2cz+a-bj) dz$.
Mi sembra che sia
$-2j oint_C 1/((a-bj)z^2+2cz+a+bj) dz$
Sicuro?
$((dz)/(jz))/(a/2[z+1/z]+(bj)/2[z-1/z]+c)=((dz)/(j))/(z{a/2[z+1/z]+(bj)/2[z-1/z]+c})=1/j (dz)/((a/2+(bj)/2)z^2+cz+a/2-(bj)/2)=2/j (dz)/((a+bj)z^2+2cz+a-bj)=-2j (dz)/((a+bj)z^2+2cz+a-bj)$
Correggimi se sbaglio.
$((dz)/(jz))/(a/2[z+1/z]+(bj)/2[z-1/z]+c)=((dz)/(j))/(z{a/2[z+1/z]+(bj)/2[z-1/z]+c})=1/j (dz)/((a/2+(bj)/2)z^2+cz+a/2-(bj)/2)=2/j (dz)/((a+bj)z^2+2cz+a-bj)=-2j (dz)/((a+bj)z^2+2cz+a-bj)$
Correggimi se sbaglio.
Hai trasformato $sinx$ in $j/2(z-1/z)$, mentre credo dovrebbe essere $1/(2j)(z-1/z)$.
Però, come ho scritto sopra, $sinx=sqrt(1-cos^2x)=sqrt(1-[1/2(z+1/z)]^2)=j/2 (z-1/z)$.
Credo di aver trovato l'errore: il polo all'interno della circonferenza non è necessariamente quello che ho scritto
sopra. Infatti, delle due soluzioni dell'equazione $(a + jb)z^2 + 2cz + a - jb = 0$, quella all'interno di $|z|=1$
dipende dal segno di $c$. Da qui l'asserto.
sopra. Infatti, delle due soluzioni dell'equazione $(a + jb)z^2 + 2cz + a - jb = 0$, quella all'interno di $|z|=1$
dipende dal segno di $c$. Da qui l'asserto.
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