Integrale
Calcolare:
$int_0^inftysinxarctg(1/x^3)dx$ (non so neppure da dove cominciare)
$int_Gammasin(1/z)cos(1/(z-1))dx$ essendo $Gamma={zinCC:|z|=3$ (mi risulta $2pii$,confermate?)
$int_0^inftysinxarctg(1/x^3)dx$ (non so neppure da dove cominciare)
$int_Gammasin(1/z)cos(1/(z-1))dx$ essendo $Gamma={zinCC:|z|=3$ (mi risulta $2pii$,confermate?)
Risposte
Nessuno ci riesce?
Qualcuno è in grado di darmi almeno un'idea?!
Comunque è un integrale di analisi 3 quindi si deve applicare qualche metodo di analisi complessa (probabilmente si deve sviluppare in serie,e poi?!)
Per il secondo 6 d'accordo con me?
se vuoi posto i passaggi.
Per il secondo 6 d'accordo con me?
se vuoi posto i passaggi.
Ho cancellato il messaggio perché tanto, in quel modo, non si arrivava a niente... Se ti riferisci a me, sinceramente, non so che dirti, perché non ho fatto Analisi Complessa (e se il mio piano di studi rimane questo, mai la farò all'Università...).
il secondo è simile a questo:
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... ht=#100630
il primo, integrando per parti
$int_0^(+infty)senx*arctan(1/x^3)dx=[-cosx*arctan(1/x^3)]_0^(+infty)-int_0^(+infty)(3x^2*cosx)/(1+x^6)dx=pi/2-int_0^(+infty)(3x^2*cosx)/(1+x^6)dx$
e adesso usa il teorema dei residui.
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... ht=#100630
il primo, integrando per parti
$int_0^(+infty)senx*arctan(1/x^3)dx=[-cosx*arctan(1/x^3)]_0^(+infty)-int_0^(+infty)(3x^2*cosx)/(1+x^6)dx=pi/2-int_0^(+infty)(3x^2*cosx)/(1+x^6)dx$
e adesso usa il teorema dei residui.
Poichè la funzione integranda è pari $=>int_0^(+infty)(3x^2*cosx)/(1+x^6)dx=1/2int_(-infty)^(+infty)...$
Ora è sufficiente applicare il lemma di jordan,giusto?
Ora è sufficiente applicare il lemma di jordan,giusto?
giusto
"Piera":
giusto
il fatto è che non ne vengo più fuori.... vedi https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 736#136736
Forse è meglio cosiderare il residuo all'infinito,oppure sviluppare il coseno e dopo,attraverso lo sviluppo di laurent,vedere il coefficiente di $z^-1$?
Per quanto riguarda il secondo integrale,invece,ho visto in esercizi simili che se $f(z)=cos(1/(z-1)) => f(1/z)=cos(z/(1-z))$.
Ma non dovrebbe essere $f(1/z)=cos(z-1)$?
Ma non dovrebbe essere $f(1/z)=cos(z-1)$?
Ma di quale integrale parli? il primo o il secondo?
"Piera":
Ma di quale integrale parli? il primo o il secondo?
del primo.
Devi considerare la funzione $f(z)=(3z^2*e^(iz))/(1+z^6)$ e la usuale semicirconferenza $Gamma$ avente per centro l'origine degli assi. All'interno di $Gamma$ ci sono i poli semplici $z= e^(pii/6)$, $e^((3pii)/6)$ , $e^((5pii)/6$ ottenuti risolvendo l'equazione $z^6+1=0$.
A questo punto ti calcoli i residui di $f(z)$ nei poli mediante la formula $lim_(z->a)(z-a)*f(z)$, non mi sembra utile calcolare il residuo all'infinito come hai fatto te, anche perchè cosi' calcoli la somma di tutti i residui della funzione, che sono 6, mentre a noi ce ne interessano soltanto 3.
Per quanto riguarda l'altra domanda:
$f(z)=cos(1/(z-1)) => f(1/z)=cos(1/(1/z-1))=cos(1/((1-z)/z))=cos(z/(1-z))$, tieni presente che $1/((1-z)/z)=z/(1-z)$, in generale $1/(a/b)=b/a$
A questo punto ti calcoli i residui di $f(z)$ nei poli mediante la formula $lim_(z->a)(z-a)*f(z)$, non mi sembra utile calcolare il residuo all'infinito come hai fatto te, anche perchè cosi' calcoli la somma di tutti i residui della funzione, che sono 6, mentre a noi ce ne interessano soltanto 3.
Per quanto riguarda l'altra domanda:
$f(z)=cos(1/(z-1)) => f(1/z)=cos(1/(1/z-1))=cos(1/((1-z)/z))=cos(z/(1-z))$, tieni presente che $1/((1-z)/z)=z/(1-z)$, in generale $1/(a/b)=b/a$
"Piera":
Devi considerare la funzione $f(z)=(3z^2*e^(iz))/(1+z^6)$ e la usuale semicirconferenza $Gamma$ avente per centro l'origine degli assi. All'interno di $Gamma$ ci sono i poli semplici $z= e^(pii/6)$, $e^((3pii)/6)$ , $e^((5pii)/6$ ottenuti risolvendo l'equazione $z^6+1=0$.
A questo punto ti calcoli i residui di $f(z)$ nei poli mediante la formula $lim_(z->a)(z-a)*f(z)$, non mi sembra utile calcolare il residuo all'infinito come hai fatto te, anche perchè cosi' calcoli la somma di tutti i residui della funzione, che sono 6, mentre a noi ce ne interessano soltanto 3.
Per quanto riguarda l'altra domanda:
$f(z)=cos(1/(z-1)) => f(1/z)=cos(1/(1/z-1))=cos(1/((1-z)/z))=cos(z/(1-z))$, tieni presente che $1/((1-z)/z)=z/(1-z)$, in generale $1/(a/b)=b/a$
è meglio lasciare indicato l'esponenziale o esprimerlo in funzione di sno e coseno nel calcolo dei limiti?
Secondo me è meglio lasciare l'esponenziale, calcolo il primo residuo:
$lim_(z->e^(pii/6))(z-e^(pii/6))f(z)=lim_(z->e^(pii/6))(z-e^(pii/6))/(1+z^6)*lim_(z->e^(pii/6))3z^2*e^(iz)$
nel primo limite, utilizzando hopital, si ottiene
$lim_(z->e^(pii/6))(z-e^(pii/6))/(1+z^6)=lim_(z->e^(pii/6))1/(6z^5)=1/6e^(-(5pii)/6)$.
Per il secondo limite, non essendoci una forma indeterminata, puoi direttamente sostituire $z=e^(pii/6)$ a $3z^2*e^(iz)$.
EDIT: ho corretto
$lim_(z->e^(pii/6))(z-e^(pii/6))f(z)=lim_(z->e^(pii/6))(z-e^(pii/6))/(1+z^6)*lim_(z->e^(pii/6))3z^2*e^(iz)$
nel primo limite, utilizzando hopital, si ottiene
$lim_(z->e^(pii/6))(z-e^(pii/6))/(1+z^6)=lim_(z->e^(pii/6))1/(6z^5)=1/6e^(-(5pii)/6)$.
Per il secondo limite, non essendoci una forma indeterminata, puoi direttamente sostituire $z=e^(pii/6)$ a $3z^2*e^(iz)$.
EDIT: ho corretto
"Piera":
Secondo me è meglio lasciare l'esponenziale, calcolo il primo residuo:
$lim_(z->pii/6)(z-e^(pii/6))f(z)=lim_(z->pii/6)(z-e^(pii/6))/(1+z^6)*lim_(z->pii/6)3z^2*e^(iz)$
nel primo limite, utilizzando hopital, si ottiene
$lim_(z->pii/6)(z-e^(pii/6))/(1+z^6)=lim_(z->pii/6)1/(6z^5)=1/6e^(-(5pii)/6)$.
Per il secondo limite, non essendoci una forma indeterminata, puoi direttamente sostituire $z=pii/6$ a $3z^2*e^(iz)$.
$z$ tende a $pii/6$! io scrivevo $z->e^(ipi/6)$,per questo non finiva +!
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