Integrale

[rico]

ciao, vorrei risolvere il seguente integrale $int1/(1+x^3)dx$ se:
$int1/(1+x^3)dx=int1/((x+1)(x^2-x+1))dx=int(1-x+x)/((x+1)(x^2-x+1))dx=intdx-intx/((x+1)(x^2-x+1))dx$ e poi applico l identita dei polinomi sbaglio?
forse conviene lasciarlo cosi pero $int1/((x+1)(x^2-x+1))dx$ e poi applico l identita dei polinomi?
grazie ciao

[_Tipper]

"richard84":$int(1-x+x)/((x+1)(x^2-x+1))dx=intdx-intx/((x+1)(x^2-x+1))dx$

Sicuro di questo passaggio?

[_Tipper]

"richard84":forse conviene lasciarlo cosi pero $int1/((x+1)(x^2-x+1))dx$ e poi applico l identita dei polinomi?

Io farei così.

[rico]

si gia scusami...sono cotto!!!cmq posso risolverlo solo con l identita dei polinomi?nn c e un altro modo? e con l identita dei polinomi chi puo darmi una rinfrescata?

[_Tipper]

$\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

Ti basta determinare $A$, $B$, $C$.

[fireball1]

"richard84":si gia scusami...sono cotto!!!cmq posso risolverlo solo con l identita dei polinomi?nn c e un altro modo? e con l identita dei polinomi chi puo darmi una rinfrescata?

Mi pare che hai fatto Analisi I da poco... Già te la sei dimenticata?

[rico]

$int1/((x+1)(x^2-x+1))dx=((A+B)x^2+(-A+B+C)x+A+C)/((x+1)(x^2-x+1))$?? da cui ricavo il sistema ugagliando i termini con $x^2,x$ a zero e $A+C$ ad 1? o sbaglio?

[fireball1]

Non sbagli...

[rico]

e vero fireball...ma per come l abbiamo fatta!!ho imparato piu qui che a lezione forse..

[fireball1]

PS. Sono tornato al nick che ho sempre avuto, la gente del forum mi conosce come fireball da sempre...

[rico]

si ma prima eri Tipper?

[fireball1]

No, sono sempre stato fireball, per qualche mese
sono stato Reynolds e ora mi sono ripreso il nick di sempre.

[rico]

ah ok scusami la confusione....
allora i valori mi vengono $A=1/3,B=-1/3,C=2/3$ ho cippato anke il sistema?e possibile...arrivo da 9 ore di scuola..-.

[_Tipper]

"richard84":si ma prima eri Tipper?

Gh...

[rico]

scusami Tipper!!ora si tratta di risolvere $1/3int1/(x+1)dx+int(-1/3x+2/3)/(x^2-x+1)dx$??

[_Tipper]

La prima parte è un integrale immediato, una primitiva è $\frac{1}{3} \ln|x+1|$, la seconda parte puoi scriverla così:

$-\frac{1}{6} [\int \frac{2x-1}{x^2-x+1}dx + \int \frac{-3}{x^2 - x +1}dx]$

Una primitiva di $\frac{2x-1}{x^2-x+1}$ è $\ln(x^2-x+1)$, mentre una primitiva di $\frac{-3}{x^2 - x +1}$ si trova passando in arcotangente.

[rico]

"Tipper":..." la seconda parte puoi scriverla così:

$-\frac{1}{6} [\int \frac{2x-1}{x^2-x+1}dx + \int \frac{-3}{x^2 - x +1}dx]$

Una primitiva di $\frac{2x-1}{x^2-x+1}$ è $\ln(x^2-x+1)$, mentre una primitiva di $\frac{-3}{x^2 - x +1}$ si trova passando in arcotangente.

n

non ho capito come mai posso riscriverla cosi...e nn so cosa significhi passare in arcotangente...puoi spiegarmelo perfavore?

[_Tipper]

Se fuori dalla frazione raccogli $-\frac{1}{6}$ allora il numeratore diventa $2x-4$, fin qui ci siamo?

[rico]

si ci sono ho capito come esce fuori 1/6...scusami se ci ho messo tanto a risp ma nn si connetteva al sito...

[_Tipper]

Ok allora resra da trovare una primitiva di $\frac{-3}{x^2-x+1}$, o meglio, di $\frac{1}{x^2-x+1}$, tanto la costante si porta fuori.

$\int \frac{1}{x^2-x+1}dx = \int \frac{1}{x^2-x+\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}dx =$

$\int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}dx = \frac{4}{3} \int \frac{1}{(\frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})^2+1} dx=$

$\frac{2}{\sqrt{3}} \int \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{(\frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})^2+1}dx= \frac{2}{\sqrt{3}}"arctg"(\frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})+C = \frac{2}{\sqrt{3}} "arctg"(\frac{2x-1}{\sqrt{3}})+C$

Spero di non aver fatto errori di calcolo...

[rico]

diciamo che piu o meno e chiaro....
cmq nn banale!!!m aspettavo qualcosa di molto piu semplice