Integrale

[n.icola114]

Ciao,

sicuramente è banale,
ma io non riesco a capire quando una
regione è verticalmente oppure orizzontalmente convessa

ad esempio per questo esercizio
dove devo calcolare il momento d'inerzia rispetto all'origine e densità unitaria di
$E = {(x, y) : x + y <= 1, x>= 0 y >= 0}$ e quindi dovrei calcolare $intint_E (x^2 + y^2)dxdy$

penso sia giusto, ed $E$ dovrebbe essere un triangolo, ma come è un triangolo ?
Da quel che capisco sul mio libro e
che se ha due lati paralleli alle ordinate è verticalmente convesso
altrimenti con due lati paralleli all'asse delle ascisse è orizzontalmente convesso ma non funziona

[_Tipper]

[n.icola114]

Grazie Tipper,

quindi fino a li ho fatto giusto,
adesso però il problema è integrare, cioè riconoscere la regione

sto cercando ma non trovo nulla, qualcuno conosce qualche link ?

[_Tipper]

I vertici del triangolo sono $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$. Se fissi la $x$ fra $0$ e $1$ allora la $y$ varia fra $0$ e $1-x$, quindi l'integrale si riscrive come

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} (x^2 + y^2) dydx$

[n.icola114]

Quindi il triangolo è verticalmente convesso,
calcolo per verticali è l'integrale viene $1/6$, giusto ?

però non ho ancora capito, continuo a cercare

[n.icola114]

Ho capito
quello che io chiamo regione verticalmente o orizzontalmente convessa
è più conosciuta come dominio semplice (o normale) rispetto all'asse x o all'asse y

mi scuso per chi non capiva, ma non lo sapevo
adesso con questo nuovo nome sono riuscito a trovare qualcosa
ed ho capito perchè il triangolo è normale rispetto all'asse delle x ma se ho capito
bene è anche normale rispetto all'asse delle y e quindi potevo integrare anche cosi $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} (x^2 + y^2) dxdy$ ?

[_Tipper]

No, in questo caso l'estremo superiore dell'integrale più interno è $1-y$.