Integrale

[Archimede87]

Qualcuno può aiutarmi con questo integrale?

$int sqrt(1+x^2)dx$

Grazie anticipatamente

[Chicco_Stat_1]

Mi sembra un'integrale della forma $I=int sqrt(x^2+a^2)dx
se non ricordo male torni ad un integrale di tipo elementare ponendo
$x=a*sinh(t) -> t=arcsinh(x/a) -> dx=a*cosh(t)dt$ e quindi $I = int sqrt(a^2*sinh^2(t)+a^2)*a*cosh(t)dt = a^2*int cosh^2(t)dt$ che si può integrare per parti

$int cosh^2(t)dt = int cosh(t)*cosh(t)dt = int cosh(t)d(sinh(t)) = cosh(t)*sinh(t)-int sinh(t)d(cosh(t)) = $
$=cosh(t)*sinh(t) - int sinh^2(t)dt = cosh(t)*sinh(t)-int (cosh^2(t)-1)dt = cosh(t)*sinh(t) - int cosh^2(t)dt +t$

trasporto al primo membro il secondo addendo dell'ultimo e sommando:

$2*int cosh^2(t)dt = cosh(t)*sinh(t)+t+C_1 -> int cosh^2(t)dt = 1/2*(cosh(t)*sinh(t)+t) + C_2$

dopodiché sostituisci e risolvi..dovrebbe essere giusto, ma attendo conferme

il risultato dovrebbe essere

$I = 1/2*log(x+sqrt(x^2+1))+(x*sqrt(x^2+1))/2 + C$

[Pulcepelosa]

"Archimede87":Qualcuno può aiutarmi con questo integrale?
$int sqrt(1+x^2)dx$
Grazie anticipatamente

$int (1+x^2)/sqrt(1+x^2)dx=int 1/sqrt(1+x^2)+int x^2/sqrt(1+x^2)dx$
integrando per parti
$int x^2/sqrt(1+x^2)dx=1/2int (2*x*x)/sqrt(1+x^2)dx=
$=1/2x*sqrt(1+x^2)-1/2int x*sqrt(1+x^2)dx=1/2x*sqrt(1+x^2)-1/2*(1+x^2)^(3/2)$

La prima parte dovrebbe essere un integrale immediato
Salvo errori

[_luca.barletta]

"Pulcepelosa":
integrando per parti
$int x^2/sqrt(1+x^2)dx=1/2int (2*x*x)/sqrt(1+x^2)dx=
$=1/2x*sqrt(1+x^2)-1/2int x*sqrt(1+x^2)dx=1/2x*sqrt(1+x^2)-1/2*(1+x^2)^(3/2)$

questo non mi torna

[_Tipper]

Io per risolverlo comincerei col porre $t=\sqrt{1+x^2}+x$, da cui $t-x=\sqrt{1+x^2}$, poi si eleva al quadrato, si ricava $x$, si ricavano i differenziali, e tutto dovrebbe tornare senza troppa difficoltà...

[Pulcepelosa]

"luca.barletta":[quote="Pulcepelosa"]
integrando per parti
$int x^2/sqrt(1+x^2)dx=1/2int (2*x*x)/sqrt(1+x^2)dx=
$=1/2x*sqrt(1+x^2)-1/2int x*sqrt(1+x^2)dx=1/2x*sqrt(1+x^2)-1/2*(1+x^2)^(3/2)$[/url]

questo non mi torna[/quote]
Grazie Luca. Ma la derivata di $(1+x^2)^(1/2)$ non è $x/sqrt(1+x^2)$?
L'errore a cui ti riferisci è quello delle costanti forse? cioè:
$int x^2/sqrt(1+x^2)dx=int (x*x)/sqrt(1+x^2)dx=
$=x*sqrt(1+x^2)-1/2int 2*x*sqrt(1+x^2)dx=x*sqrt(1+x^2)-1/3(1+x^2)^(3/2)$

[_luca.barletta]

sei andato per parti, vero? in tal caso sarebbe:
$int (x*x)/sqrt(1+x^2)dx=x*sqrt(1+x^2)-int sqrt(1+x^2)dx

[Pulcepelosa]

Mannagia che distratto!
Perdonatemi l'errore imperdonabile!