Integrale
Vorrei un consiglio su come risolvere:
$intt/((4+t^2)^2)sen(komegat)dt
$intt/((4+t^2)^2)sen(komegat)dt
Risposte
Bisognerebbe dire chi sono $k$ e $omega$ (suppongo $k in NN$ e $omega in RR$)... in ogni caso data la sommabilità dell'integrando basta applicare il lemma di Jordan e sfruttare la teoria dei residui.
oppure puoi notare che $t/(4+t^2)^2=-1/2d/(dt)(1/(4+t^2))$...
ma se devi risolvere con la teoria dei residui fai come detto da kroldar
ma se devi risolvere con la teoria dei residui fai come detto da kroldar
luca.barletta, hai ragione... avevo implicitamente inteso che l'integrale fosse esteso alla retta reale... però non è così, si tratta di un semplice integrale indefinito, quindi non hanno senso i residui 
ok, non me n'ero neanche accorto
Se vi interessa, l'esercizio è:
Data la funzione $x(t)=t/((4+t^2)^2)$,
Calcolare i coefficienti della serie di Fourier della ripetizione periodica
$x_T(t)=sum_(k=-infty)^(+infty)x(t-kT), TinRR:T>0$
Data la funzione $x(t)=t/((4+t^2)^2)$,
Calcolare i coefficienti della serie di Fourier della ripetizione periodica
$x_T(t)=sum_(k=-infty)^(+infty)x(t-kT), TinRR:T>0$
procedi come ti ho detto io, applichi la proprietà della trasformata della derivata...
"luca.barletta":
procedi come ti ho detto io, applichi la proprietà della trasformata della derivata...
Non ho ancora studiato le trasformate.
"luca.barletta":
oppure puoi notare che $t/(4+t^2)^2=-1/2d/(dt)(1/(4+t^2))$...
ma se devi risolvere con la teoria dei residui fai come detto da kroldar
E con il seno?che faccio?
"ENEA84":
[quote="luca.barletta"]procedi come ti ho detto io, applichi la proprietà della trasformata della derivata...
Non ho ancora studiato le trasformate.[/quote]
e ti è stato dato questo esercizio?
Veramente l'ho trovato tra gli esercizi degli appelli precedenti;in breve ho fatto analiticità,residui e serie di Fourier.
Con questi "mezzi" non è un esercizio che posso risolvere?
Con questi "mezzi" non è un esercizio che posso risolvere?
"ENEA84":
[quote="luca.barletta"]oppure puoi notare che $t/(4+t^2)^2=-1/2d/(dt)(1/(4+t^2))$...
ma se devi risolvere con la teoria dei residui fai come detto da kroldar
E con il seno?che faccio?[/quote]
tutto ok.
ti dicevo appunto di applicare la proprietà della trasformata di Fourier della derivata di una funzione, che poi non è proprio una tdf, ma una trasformata seno, quindi...
"luca.barletta":
ti dicevo appunto di applicare la proprietà della trasformata di Fourier della derivata di una funzione, che poi non è proprio una tdf, ma una trasformata seno, quindi...
Io stavo agendo in questo modo:
$f^~(t)={(t/((4+t^2)^2),0<=t<=T),(-f(-t)=t/((4+t^2)^2),-T<=t<=0):}$
ovvero $f^~(t)=t/((4+t^2)^2) AAt>0$
Ora poichè è $f(-t)=-f(t) =>a_k=0$
$b_k=2/Tint_(-T/2)^(T/2)t/((4+t^2)^2)sen(komegat)dt$
e quindi ho postato l'integrale indefinito.
è giusto il procedimento?
"luca.barletta":
oppure puoi notare che $t/(4+t^2)^2=-1/2d/(dt)(1/(4+t^2))$...
ma se devi risolvere con la teoria dei residui fai come detto da kroldar
Scusatemi di nuovo ma a quanto pare ho difficoltà a risolvere tale integrale.Potreste aiutarmi?
Partendo dal testo dell'esercizio, devi calcolare i coefficienti di Fourier di una ripetizione periodica di una funzione nel tempo; quindi è sufficiente calcolare la tdf normalmente e poi campionare nel dominio trasformato la funzione così trovata (dualità ripetizione periodica <-> campionamento). A te scegliere il periodo di campionamento. Comincia a risolvere l'integrale indefinito
$intt/((4+t^2)^2)sen(omegat)dt=-Im{intt/((4+t^2)^2)e^(-jomegat)dt}=-Im{int-1/2d/(dt)(1/(4+t^2))e^(-jomegat)dt}=...$
Stavo facendo
$-1/2intsen(komegat)d(1/(4+t^2))=-1/2{(sen(komegat))/((4+t^2))-int1/((4+t^2))d(sen(komegat))}$
e poi?
$-1/2intsen(komegat)d(1/(4+t^2))=-1/2{(sen(komegat))/((4+t^2))-int1/((4+t^2))d(sen(komegat))}$
e poi?
Fino a dove sono arrivato io in poi devi usare la proprietà:
$ccF{f'}=iomegaccF{f}$ dove con $ccF{.}$ indico la trasformata di Fourier.
$ccF{f'}=iomegaccF{f}$ dove con $ccF{.}$ indico la trasformata di Fourier.
"luca.barletta":
Fino a dove sono arrivato io in poi devi usare la proprietà:
$ccF{f'}=iomegaccF{f}$ dove con $ccF{.}$ indico la trasformata di Fourier.
Poichè non abbiamo ancora fatto la trasformata Fourier,mi risolvo l'integrale coi residui e l'esercizio è finito,giusto?
Ok, allora seguiamo il procedimento canonico:
$a_k=omega/piint_(-pi/omega)^(pi/omega) t/((4+t^2)^2)cos(komegat)dt=0$ $AA k$
$b_k=omega/piint_(-pi/omega)^(pi/omega) t/((4+t^2)^2)sin(komegat)dt=2omega/piint_(0)^(pi/omega) t/((4+t^2)^2)sin(komegat)dt$
$a_k=omega/piint_(-pi/omega)^(pi/omega) t/((4+t^2)^2)cos(komegat)dt=0$ $AA k$
$b_k=omega/piint_(-pi/omega)^(pi/omega) t/((4+t^2)^2)sin(komegat)dt=2omega/piint_(0)^(pi/omega) t/((4+t^2)^2)sin(komegat)dt$
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