Integrale
$int_2^(infty)t/(1+(t-2)^4)dt$
Avrei pensato di porre $t-2=z$;
nel risolvere $z^4+1=0$ per trovare gli zeri del denominatore applico la formula $w_k=rootnrhoe^(i(Theta+2kpi)/n),k=0,....n-1$
poichè $rho=1$ devo applicare anche la formula dellle radici n-esime dell'unità?
Se c'è un metodo per risolvere tale integrale senza porre $t-2=z$ sarebbe ben accetto.
Avrei pensato di porre $t-2=z$;
nel risolvere $z^4+1=0$ per trovare gli zeri del denominatore applico la formula $w_k=rootnrhoe^(i(Theta+2kpi)/n),k=0,....n-1$
poichè $rho=1$ devo applicare anche la formula dellle radici n-esime dell'unità?
Se c'è un metodo per risolvere tale integrale senza porre $t-2=z$ sarebbe ben accetto.
Risposte
L'integrale non è convergente... L'integranda
è asintotica a $1/t$ per $t->+oo$, da cui la divergenza.
è asintotica a $1/t$ per $t->+oo$, da cui la divergenza.
Il denominatore è $1+(t-2)^4$ l'ho corretto adesso.
io pongo $z=t-2$ per cui
$int_2^(infty)t/(1+(t-2)^4)dt=int_{0}^{+infty)(z+2)/(1+z^4)dz$=
$int_{0}^{+infty}z/(1+z^4)dz+int_{0}^{+infty}2/(1+z^4)dz$.
Ora $int_{0}^{+infty}2/(1+z^4)dz=1/2*int_{-infty}^{+infty}2/(1+z^4)dz$=
$int_{-infty}^{+infty}1/(1+z^4)dz$ essendo la funzione integranda pari.
Ora $z^4+1=0<=>z=e^(i*1/4*(pi+2kpi)),k=0,1,2,3$ ed i poli nel semipiano superiore sono $z_(k=0)=e^(i*pi/4),z_(k=1)=e^(i*3pi/4)$ per cui
$int_{-infty}^{+infty}1/(1+z^4)dz=2pi*i*[R(e^(i*pi/4))+R(e^(i*3pi/4))]$
Ora $R(e^(i*pi/4))=(1/(4z^3))_(z=e^(i*pi/4))=1/(4*e^(i*3pi/4))=1/(4*(sqrt2)/2*(-1+i))=-(1+i)/(4sqrt2)$ mentre
$R(e^(i*3pi/4))=(1/(4z^3))_(z=e^(i*3pi/4))=1/(4*e^(i*9pi/4))=1/(4*(sqrt2)/2*(1+i))=(1-i)/(4sqrt2)$ per cui
$int_{-infty}^{+infty}1/(1+z^4)dz=2pi*i*(-(1+i)/(4sqrt2)+(1-i)/(4sqrt2))=2pi*i*[-i/(2sqrt2)]=pi/(sqrt2)$
Vediamo l'altro integrale:
$int_{0}^{+infty}z/(1+z^4)dz$. Effettuiamo la sostituzione $z^2=x->dx=2zdz$ per cui
$int_{0}^{+infty}z/(1+z^4)dz=1/2*int_{0}^{+infty}1/(1+x^2)dx=1/4*int_{-infty}^{+infty}1/(1+x^2)dx$ essendo la funzione integranda pari. Ora l'unico polo nel semipiano superiore è $+i$ per cui
$int_{0}^{+infty}z/(1+z^4)dz=1/4*int_{-infty}^{+infty}1/(1+x^2)dx=1/4*2pi*i*R(+i)=pi/2*i*(1/(2x))_(x=i)=pi/4$
In un altro modo ancora
$int_{0}^{+infty}z/(1+z^4)dz=1/2*int_{0}^{+infty}(2z)/(1+(z^2)^2)dz$ per cui
$int_{0}^{+infty}z/(1+z^4)dz=1/2*[arctg(z^2)]_{0}^{+infty}=pi/4$
In conclusione
$int_2^(infty)t/(1+(t-2)^4)dt=pi/4+pi/(sqrt2)=pi/4(1+2sqrt2)$
$int_2^(infty)t/(1+(t-2)^4)dt=int_{0}^{+infty)(z+2)/(1+z^4)dz$=
$int_{0}^{+infty}z/(1+z^4)dz+int_{0}^{+infty}2/(1+z^4)dz$.
Ora $int_{0}^{+infty}2/(1+z^4)dz=1/2*int_{-infty}^{+infty}2/(1+z^4)dz$=
$int_{-infty}^{+infty}1/(1+z^4)dz$ essendo la funzione integranda pari.
Ora $z^4+1=0<=>z=e^(i*1/4*(pi+2kpi)),k=0,1,2,3$ ed i poli nel semipiano superiore sono $z_(k=0)=e^(i*pi/4),z_(k=1)=e^(i*3pi/4)$ per cui
$int_{-infty}^{+infty}1/(1+z^4)dz=2pi*i*[R(e^(i*pi/4))+R(e^(i*3pi/4))]$
Ora $R(e^(i*pi/4))=(1/(4z^3))_(z=e^(i*pi/4))=1/(4*e^(i*3pi/4))=1/(4*(sqrt2)/2*(-1+i))=-(1+i)/(4sqrt2)$ mentre
$R(e^(i*3pi/4))=(1/(4z^3))_(z=e^(i*3pi/4))=1/(4*e^(i*9pi/4))=1/(4*(sqrt2)/2*(1+i))=(1-i)/(4sqrt2)$ per cui
$int_{-infty}^{+infty}1/(1+z^4)dz=2pi*i*(-(1+i)/(4sqrt2)+(1-i)/(4sqrt2))=2pi*i*[-i/(2sqrt2)]=pi/(sqrt2)$
Vediamo l'altro integrale:
$int_{0}^{+infty}z/(1+z^4)dz$. Effettuiamo la sostituzione $z^2=x->dx=2zdz$ per cui
$int_{0}^{+infty}z/(1+z^4)dz=1/2*int_{0}^{+infty}1/(1+x^2)dx=1/4*int_{-infty}^{+infty}1/(1+x^2)dx$ essendo la funzione integranda pari. Ora l'unico polo nel semipiano superiore è $+i$ per cui
$int_{0}^{+infty}z/(1+z^4)dz=1/4*int_{-infty}^{+infty}1/(1+x^2)dx=1/4*2pi*i*R(+i)=pi/2*i*(1/(2x))_(x=i)=pi/4$
In un altro modo ancora
$int_{0}^{+infty}z/(1+z^4)dz=1/2*int_{0}^{+infty}(2z)/(1+(z^2)^2)dz$ per cui
$int_{0}^{+infty}z/(1+z^4)dz=1/2*[arctg(z^2)]_{0}^{+infty}=pi/4$
In conclusione
$int_2^(infty)t/(1+(t-2)^4)dt=pi/4+pi/(sqrt2)=pi/4(1+2sqrt2)$
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