Integrale

[rico]

ciao, non sono capace a risolvere $int(dx)/((a^2+-x^2)^n)$
invece con il seguente non mi ritrovo con il risultato:
$inte^(2x)log(e^x+1)dx$
$1/2e^(2x)log(e^x+1)-1/2inte^(3x)/(e^x+1)dx$
sostituisco: $e^x=t$ e $x=logt$ e $dx=1/tdt$
quindi:
$1/2e^(2x)log(e^x+1)-1/2intt^2/(1+t)dt$
sostituisco ancora:
$t=z-1$ e $dt=dz$
$1/2e^(2x)log(e^x+1)-1/2int((z-1)^2)/zdz$
$1/2e^(2x)log(e^x+1)-1/2(1/2z^2+logz-z^2)$
ora risostituendo il tutto dovrebbe venire:
$1/2(e^(2x)-1)log(1+e^x)+e^x(1/2-1/4e^x)+C$
dall ulltima espressione prima del risultato io non riesco a farla a quadrare...sbaglio qualcosa prima?

[p4ngm4n]

non sono sicuro ma proverei a risolverlo per parti

[p4ngm4n]

si mi trovo. molto semplice risolverlo per parti considerando $e^(2x)$ fattore differenziale e $log(e^x+1)$ fattore finito. nn c'è bisogno di scrivertelo xke basta applicare la regola dell'integrazione per parti e ti trovi subito il risultato.
ciao

[_nicola de rosa]

"richard84":ciao, non sono capace a risolvere $int(dx)/((a^2+-x^2)^n)$
invece con il seguente non mi ritrovo con il risultato:
$inte^(2x)log(e^x+1)dx$
$1/2e^(2x)log(e^x+1)-1/2inte^(3x)/(e^x+1)dx$
sostituisco: $e^x=t$ e $x=logt$ e $dx=1/tdt$
quindi:
$1/2e^(2x)log(e^x+1)-1/2intt^2/(1+t)dt$
sostituisco ancora:
$t=z-1$ e $dt=dz$
$1/2e^(2x)log(e^x+1)-1/2int((z-1)^2)/zdz$
$1/2e^(2x)log(e^x+1)-1/2(1/2z^2+logz-z^2)$
ora risostituendo il tutto dovrebbe venire:
$1/2(e^(2x)-1)log(1+e^x)+e^x(1/2-1/4e^x)+C$
dall ulltima espressione prima del risultato io non riesco a farla a quadrare...sbaglio qualcosa prima?

il tuo errore sta nell'integrale $int((z-1)^2)/zdz$ che dà come risultato $z^2/2+log|z|-2z$. per il resto tutto OK. e ti troverai correggendo tale errore

per il primo integrale : consideriamo
$int1/((a^2-x^2)^(n-1))dx$ con $n>1$. Integrando per parti otteniamo
$int1/((a^2-x^2)^(n-1))dx=x/((a^2-x^2)^(n-1))-int(2x^2(n-1))/((a^2-x^2)^(n))dx$
Analizziamo il termine $int(2x^2(n-1))/((a^2-x^2)^(n))dx$. Aggiungendo e sottraendo al numeratore il termine $2(n-1)a^2$ si ottiene:
$int(2x^2(n-1))/((a^2-x^2)^(n))dx=int(2x^2(n-1)+2a^2(n-1)-2a^2(n-1))/((a^2-x^2)^(n))dx=int(-2(n-1)(a^2-x^2))/((a^2-x^2)^n)dx+2a^2(n-1)int1/((a^2-x^2)^n)dx$
=$-2(n-1)*int1/((a^2-x^2)^(n-1))dx+2a^2(n-1)int1/((a^2-x^2)^n)dx$
per cui
$int1/((a^2-x^2)^(n-1))dx=x/((a^2-x^2)^(n-1))+2(n-1)*int1/((a^2-x^2)^(n-1))dx-2a^2(n-1)int1/((a^2-x^2)^n)dx$
da cui portando al primo membro il termine $-2a^2(n-1)int1/((a^2-x^2)^n)dx$ ed al secondo membro il termine $int1/((a^2-x^2)^(n-1))dx$ si ricava:
$int1/((a^2-x^2)^n)dx=1/(2a^2(n-1))*x/((a^2-x^2)^(n-1))+(2(n-1)-1)/(a^2*2(n-1))*int1/((a^2-x^2)^(n-1))dx$
In tal modo ricorsivamente $int1/((a^2-x^2)^(n-1))dx=1/(2a^2(n-2))*x/((a^2-x^2)^(n-2))+(2(n-2)-1)/(a^2*2(n-2))*int1/((a^2-x^2)^(n-2))dx$ e così via sino ad arrivare a ridursi all'integrale $int1/(a^2-x^2)dx=1/(2a)*ln|(a+x)/(a-x)|+C$

Analogamente
$int1/((a^2+x^2)^n)dx=1/(2a^2(n-1))*x/((a^2+x^2)^(n-1))+(2(n-1)-1)/(a^2*2(n-1))*int1/((a^2+x^2)^(n-1))dx$ e si procede ricorsivamente fino a ricondursi a $int1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctg(x/a)+C$

In conclusione la natura ricorsiva del calcolo dei suddetti integrali si traduce in tali formule:
$int1/((a^2-x^2)^n)dx={(1/(2a^2(n-1))*x/((a^2-x^2)^(n-1))+(2(n-1)-1)/(a^2*2(n-1))*int1/((a^2-x^2)^(n-1))dx,n>1),(1/(2a)*ln|(a+x)/(a-x)|,n=1):}$
e
$int1/((a^2+x^2)^n)dx={(1/(2a^2(n-1))*x/((a^2+x^2)^(n-1))+(2(n-1)-1)/(a^2*2(n-1))*int1/((a^2+x^2)^(n-1))dx,n>1),(1/a*arctg(x/a),n=1):}$
ESEMPIO 1
$int1/((a^2-x^2)^3)dx=1/(4a^2)*x/((a^2-x^2)^2)+3/(4a^2)*int1/((a^2-x^2)^2)dx$
Ora $int1/((a^2-x^2)^2)dx=1/(2a^2)*x/(a^2-x^2)+1/(a^2)*int1/(a^2-x^2)dx=1/(2a^2)*x/(a^2-x^2)+1/(2a^3)*ln|(a+x)/(a-x)|$ per cui
$int1/((a^2-x^2)^3)dx=1/(4a^2)*x/((a^2-x^2)^2)+3/(4a^2)*[1/(2a^2)*x/(a^2-x^2)+1/(2a^3)*ln|(a+x)/(a-x)|]$=
$1/(4a^2)*x/((a^2-x^2)^2)+3/(8a^4)*x/(a^2-x^2)+3/(8a^5)*ln|(a+x)/(a-x)|+K$

ESEMPIO 2
Analogamente
$int1/((a^2+x^2)^3)dx=1/(4a^2)*x/((a^2+x^2)^2)+3/(8a^4)*x/(a^2+x^2)+3/(8a^5)*arctg(x/a)+K$