Integrale
Calcolare:
$int_0^(+infty)e^(-pix)*(senx)/(senh(pix))dx
$int_0^(+infty)e^(-pix)*(senx)/(senh(pix))dx
Risposte
L'integrale può essere riscritto:
$int_0^(+infty)(2senx)/(e^(2pix)-1)dx$.
A questo punto l'esercizio è identico a quello del mio libro (variabili complesse della collana shaum's), il quale suggerisce di utilizzare la funzione $f(z)=e^(iz)/(e^(2piz)-1)$ e di applicare il teorema dei residui nel rettangolo $0, R, R+i, i$ e porre $R->+infty$. Il risultato è $1/2coth(1/2)-1/2$.
Non so se a questo punto la risoluzione sia facile o difficile... prova a vedere quello che viene.
$int_0^(+infty)(2senx)/(e^(2pix)-1)dx$.
A questo punto l'esercizio è identico a quello del mio libro (variabili complesse della collana shaum's), il quale suggerisce di utilizzare la funzione $f(z)=e^(iz)/(e^(2piz)-1)$ e di applicare il teorema dei residui nel rettangolo $0, R, R+i, i$ e porre $R->+infty$. Il risultato è $1/2coth(1/2)-1/2$.
Non so se a questo punto la risoluzione sia facile o difficile... prova a vedere quello che viene.
il procedimento è lunghissimo;comunque a me viene $1/2cotgh(1/2)-1$
E' giusto.
Quello che ho scritto è il risultato del libro e potrebbe essere sbagliato.
Perchè non posti sinteticamente la soluzione per capire quello che hai fatto?
Perchè non posti sinteticamente la soluzione per capire quello che hai fatto?
Ah, è vero viene -1, nel libro il 2 a numeratore non c'è (mi sono dimenticato di correggere il secondo termine).
c'è ancora bisogno di postarlo?
Questo esercizio mi sta incuriosendo...
Ho provato adesso a impostarlo, come valuti l'integrale sul lato del rettangolo di vertici $i$ e 0, cioè il lato sull'asse y?
Ho provato adesso a impostarlo, come valuti l'integrale sul lato del rettangolo di vertici $i$ e 0, cioè il lato sull'asse y?
Applica il teorema di Cauchy-Goursat relativamente all'insieme:${zinCC:0<=Rez<=R,0<=Imz<=1,|z|>=epsilon,|z-i|>=epsilon}$ ove $01$
ok?
ok?
Ah, ho capito... è un cammino diverso rispetto a quello che suggerisce il mio libro.
"Piera":
Ah, ho capito... è un cammino diverso rispetto a quello che suggerisce il mio libro.
A che pagina è?ce l'ho anch'io il libro che hai tu.
Nella mia edizione è a pag. 197 problema 81.
Ho riesumato quest'integrale che è davvero interessante (per me)!
Con facili calcoli si ottiene:
$int_0^(+infty)e^(-pix)*(senx)/(senh(pix))dx=2int_0^(+infty)(senx)/(e^(2pix)-1)dx$.
Consideriamo la funzione $f(z)=e^(iz)/(e^(2piz)-1)$ e il cammino suggerito da Enea84 (adesso Sturmentruppen):
$gamma$ :$0<=Rez<=R$,$0<=Imz<=1$,$|z|>=epsilon$,$|z-i|>=epsilon$.
Per il teorema di Cauchy-Goursat $int_gammaf(z)dz=0$,
scriviamo l'integrale in forma estesa:
(1) integrale sul segmento $[0,R]$: $int_0^R(e^(ix))/(e^(2pix)-1)dx+$
(2) segmento $z=R+iy$,$dz=idy$: $int_0^1(e^(Ri-y))/(e^(2piR+2piyi)-1)idy+$
(3) segmento $z=x+i$ : $int_R^epsilon(e^(ix-1))/(e^(2pix+2pii)-1)dx+$
(4) arco di circonferenza $z=i+epsilone^(thetai)$: $int_0^(-pi/2)f(z)dz+$
(5) segmento $z=iy$ :$int_(1-epsilon)^epsilon(e^(-y))/(e^(2piyi)-1)idy+$
(6) arco di circonferenza $z=epsilone^(thetai)$: $int_(pi/2)^0f(z)dz$.
(4) e (6) per il lemma del piccolo cerchio tendono rispettivamente, per $epsilon->0$, a $-i(e^(-1))/4$ e $-i1/4$.
Il (2) tende a zero: $|int_0^1(e^(Ri-y))/(e^(2piR+2piyi)-1)dy|<=int_0^1(e^(-y))/(e^(2piR)-1)dy=(-e^(-1)+1)/((e^(2piR)-1))->0$ per $R->+infty$.
Valutiamo il (5) per $epsilon->0$:
$-iint_0^1(e^(-y))/(e^(2piyi)-1)dy=-iint_0^1(e^(-y))/(cos(2piy)+isen(2piy)-1)dy=iint_0^1(e^(-y))/(cos(2piy)-1+isen(2piy))*(cos(2piy)-1+isen(2piy))/(cos(2piy)-1+isen(2piy))dy=$
$=iint_0^1(e^(-y)(cos(2piy)-1))/(-2(1-cos(2piy)))dy-int_0^1(e^(-y)sen(2piy))/(-2(1-cos(2piy)))dy=i/2int_0^1e^(-y)dy-int_0^1(e^(-y)sen(2piy))/(-2(1-cos(2piy)))dy=-i/2(e^(-1)-1)-int_0^1(e^(-y)sen(2piy))/(-2(1-cos(2piy)))dy$.
Sommando (1) con (3) e portando tutti i valori dei precedenti integrali a secondo membro si ha, per $epsilon->0,R->+infty$:
$(1-e^(-1))int_0^(+infty)(e^(ix))/(e^(2pix)-1)dx=i/4(1+e^(-1))+i/2(e^(-1)-1)+int_0^1(e^(-y)sen(2piy))/(-2(1-cos(2piy)))dy$
$(1-e^(-1))int_0^(+infty)cosx/(e^(2pix)-1)dx+i(1-e^(-1))int_0^(+infty)(senx)/(e^(2pix)-1)dx=i/4(1+e^(-1))+i/2(e^(-1)-1)+int_0^1(e^(-y)sen(2piy))/(-2(1-cos(2piy)))dy$,
da cui, eguagliando la parte immaginaria si ottiene:
$2int_0^(+infty)(senx)/(e^(2pix)-1)dx=1/2*(1+e^(-1))/(1-e^(-1))-1$.
EDIT: Mi sono accorto che la parte reale dell'integrale diverge. In tutto quello che ho scritto sopra, per avere senso, non si deve porre $epsilon->0$ e $R->+infty$ nella parte reale.
Si ottiene
$(1-e^(-1))int_epsilon^(R)cosx/(e^(2pix)-1)dx+i(1-e^(-1))int_0^(+infty)(senx)/(e^(2pix)-1)dx=i/4(1+e^(-1))+i/2(e^(-1)-1)+int_epsilon^(1-epsilon)(e^(-y)sen(2piy))/(-2(1-cos(2piy)))dy-Re((4)+(6))$,
da cui, eguagliando la parte immaginaria si ottiene, ovviamente, lo stesso valore scritto sopra.
Con facili calcoli si ottiene:
$int_0^(+infty)e^(-pix)*(senx)/(senh(pix))dx=2int_0^(+infty)(senx)/(e^(2pix)-1)dx$.
Consideriamo la funzione $f(z)=e^(iz)/(e^(2piz)-1)$ e il cammino suggerito da Enea84 (adesso Sturmentruppen):
$gamma$ :$0<=Rez<=R$,$0<=Imz<=1$,$|z|>=epsilon$,$|z-i|>=epsilon$.
Per il teorema di Cauchy-Goursat $int_gammaf(z)dz=0$,
scriviamo l'integrale in forma estesa:
(1) integrale sul segmento $[0,R]$: $int_0^R(e^(ix))/(e^(2pix)-1)dx+$
(2) segmento $z=R+iy$,$dz=idy$: $int_0^1(e^(Ri-y))/(e^(2piR+2piyi)-1)idy+$
(3) segmento $z=x+i$ : $int_R^epsilon(e^(ix-1))/(e^(2pix+2pii)-1)dx+$
(4) arco di circonferenza $z=i+epsilone^(thetai)$: $int_0^(-pi/2)f(z)dz+$
(5) segmento $z=iy$ :$int_(1-epsilon)^epsilon(e^(-y))/(e^(2piyi)-1)idy+$
(6) arco di circonferenza $z=epsilone^(thetai)$: $int_(pi/2)^0f(z)dz$.
(4) e (6) per il lemma del piccolo cerchio tendono rispettivamente, per $epsilon->0$, a $-i(e^(-1))/4$ e $-i1/4$.
Il (2) tende a zero: $|int_0^1(e^(Ri-y))/(e^(2piR+2piyi)-1)dy|<=int_0^1(e^(-y))/(e^(2piR)-1)dy=(-e^(-1)+1)/((e^(2piR)-1))->0$ per $R->+infty$.
Valutiamo il (5) per $epsilon->0$:
$-iint_0^1(e^(-y))/(e^(2piyi)-1)dy=-iint_0^1(e^(-y))/(cos(2piy)+isen(2piy)-1)dy=iint_0^1(e^(-y))/(cos(2piy)-1+isen(2piy))*(cos(2piy)-1+isen(2piy))/(cos(2piy)-1+isen(2piy))dy=$
$=iint_0^1(e^(-y)(cos(2piy)-1))/(-2(1-cos(2piy)))dy-int_0^1(e^(-y)sen(2piy))/(-2(1-cos(2piy)))dy=i/2int_0^1e^(-y)dy-int_0^1(e^(-y)sen(2piy))/(-2(1-cos(2piy)))dy=-i/2(e^(-1)-1)-int_0^1(e^(-y)sen(2piy))/(-2(1-cos(2piy)))dy$.
Sommando (1) con (3) e portando tutti i valori dei precedenti integrali a secondo membro si ha, per $epsilon->0,R->+infty$:
$(1-e^(-1))int_0^(+infty)(e^(ix))/(e^(2pix)-1)dx=i/4(1+e^(-1))+i/2(e^(-1)-1)+int_0^1(e^(-y)sen(2piy))/(-2(1-cos(2piy)))dy$
$(1-e^(-1))int_0^(+infty)cosx/(e^(2pix)-1)dx+i(1-e^(-1))int_0^(+infty)(senx)/(e^(2pix)-1)dx=i/4(1+e^(-1))+i/2(e^(-1)-1)+int_0^1(e^(-y)sen(2piy))/(-2(1-cos(2piy)))dy$,
da cui, eguagliando la parte immaginaria si ottiene:
$2int_0^(+infty)(senx)/(e^(2pix)-1)dx=1/2*(1+e^(-1))/(1-e^(-1))-1$.
EDIT: Mi sono accorto che la parte reale dell'integrale diverge. In tutto quello che ho scritto sopra, per avere senso, non si deve porre $epsilon->0$ e $R->+infty$ nella parte reale.
Si ottiene
$(1-e^(-1))int_epsilon^(R)cosx/(e^(2pix)-1)dx+i(1-e^(-1))int_0^(+infty)(senx)/(e^(2pix)-1)dx=i/4(1+e^(-1))+i/2(e^(-1)-1)+int_epsilon^(1-epsilon)(e^(-y)sen(2piy))/(-2(1-cos(2piy)))dy-Re((4)+(6))$,
da cui, eguagliando la parte immaginaria si ottiene, ovviamente, lo stesso valore scritto sopra.
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