Integrale

[Sk_Anonymous]

ragazzi................come calcolereste


$piint_{0}^{1}sqrt(1+9rho^4)drho^2$???

dovrebbe venire $2pi/27 * (10sqrt10-1)$ <----------------E' ASSOLUTAMENTE ERRATA!!!

grazie

ciao

[_Tipper]

Prima di tutto farei $t=\rho^2$, e $dt=d\rho^2$.
Ora devi calcolare: $\pi\int_{0}^{1}sqrt(1+9t^2)dt$.
Ora io farei un nuovo cambiamento di variabile: $sqrt(1+9t^2) = x - 3t$, cosi si ottiene: $x=sqrt(1+9t^2) + 3t$, inoltre elevando al quadrato si ottiene: $1+9t^2 = x^2 + 9t^2 - 6t$, cioè $x^2 = 6t+1$, $2xdx = 6dt$, $dt = 1/3 x dx$ ed inoltre $t= (x^2-1)/6$.
Ora l'integrale viene: $\pi\int_{0}^{1}x-3*(x^2-1)/6 * 1/3 x dx$.
Ora mi sembra semplice da risolvere.

[Sk_Anonymous]

"Tipper":
Ora io farei un nuovo cambiamento di variabile: $sqrt(1+9t^2) = x - 3t$

esatto come la prof....ma non riesco a capire da dove salta fuori $x - 3t$

[_Tipper]

La sostituzione da fare è $sqrt(1+9t^2) + 3t = x$, in questo modo, portando il $3t$ a destra ed elevando al quadrato il $9t^2$ scompare, tutto qui.
Diciamo che è una sorta di sostituzione standard che conviene fare quando si ha a che fare con integrali del tipo $sqrt(1+x^2)$

[Sk_Anonymous]

non l'ho mai fatto.......

me la puoi spiegare teoricamente...pes se ho un integrale del tipo $int_{c}^{d}sqrt(a^2-x^2)dx$ io pongo $x=asint$ e $dx=acostdt$ sostituisco, cambio gli estremi e risolvo ma quella che dici tu non la capisco....

[_Tipper]

"leonardo12345"::shock: non l'ho mai fatto.......

me la puoi spiegare teoricamente...pes se ho un integrale del tipo $int_{c}^{d}sqrt(a^2-x^2)dx$ io pongo $x=asint$ e $dx=acostdt$ sostituisco, cambio gli estremi e risolvo ma quella che dici tu non la capisco....

Questa è una differenza di quadrati, non una somma...
Se invece devi risolvere $\intsqrt(a^2 + x^2)dx$ io faccio sempre la sostituzione $sqrt(a^2 + k^2x^2) = t - kx$ (con $k$ costante), in questo modo quando vado ad elevare al quadrato il termine $x^2$ sparisce e si trova il differenziale $dx$ in funzione del $dt$ senza avere radici quadrate strane.
Se invece sotto radice non c'è una somma di quadrati ma una differenza conviene fare, come hai scritto, un passaggio in seno o coseno.

[jliv]

"Tipper":La sostituzione da fare è $sqrt(1+9t^2) + 3t = x$, in questo modo, portando il $3t$ a destra ed elevando al quadrato il $9t^2$ scompare, tutto qui.
Diciamo che è una sorta di sostituzione standard che conviene fare quando si ha a che fare con integrali del tipo $sqrt(1+x^2)$

già che siamo in tema mi spiegheresti come si procede per sostituzione con un integrale di questo tipo? io ad esempio con questo avrei usato l'integrazione per parti ponendo come fattore finito la radice e come fatt differenziale 1... con la sostituzione mi si incasinano le cose, ma sicuramente sbaglio da qualche parte...

mi riferisco all'integrale di $sqrt(1+x^2)$

[Sk_Anonymous]

osp è vero col + si usa sinh e cosh.....ho riguardato il libro di analisi 1 ma la tua sostituzione nn la trovo....però ora ho capito...è una sostituzione razionalizzante...la troverò

grazie

ciao

[Sk_Anonymous]

ps hai mica una tabella con tutte le sostituzioni razionalizzanti da usare nei vari casi??

grazie

ciao

[_Tipper]

Io no...

[Sk_Anonymous]

$sqrt(a^2 + k^2x^2) = t - kx$.........mi confermi che è t-kx e che quando fai $(x-3t)$ t sei scordato una x a 6xt.........la mia prof ha messo + ma l'integrale non viene

[_Tipper]

Penso si possa fare anche con $t+kx$, in questo caso però gli estremi di integrazione sono diversi rispetto all'integrazione con la sostituzione $t-kx$.

[Sk_Anonymous]

il risultato non è quello....è l'esercizio 2 pag 253 del marcellini sbordone elementi di analisi 2 versione semplificata x i nuovi corsi di laurea.......erroneamente calcola l'integrale con $rho^2$ ma al passaggio precedente c'è scritto $(x^2+y^2)^2$ che in coordinate polari è $rho^4$...........col procedimento indicatomi viene $piint(x-((x^2-1)/(2x))*(1/6+1/(6x^2)))dx$......ma che estremi ci vanno? 0 e 1?.....in questo caso derive 6 dice che l'integrale vale infinito


che faccio?

[Sk_Anonymous]

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