Integrale
Ragazzi mi serverebbe il risultato di quest'integrale.
$int(+-dx)/(x^2sqrt((2Em)/L^2+(2GMm^2)/(xL^2)-1/x^2))$
Grazie a chi si cimenterà.
N.B. $E, m, M, L, G$ sono ovviamente tutte costanti.
$int(+-dx)/(x^2sqrt((2Em)/L^2+(2GMm^2)/(xL^2)-1/x^2))$
Grazie a chi si cimenterà.
N.B. $E, m, M, L, G$ sono ovviamente tutte costanti.
Risposte
Si tratta evidentemente dell'integrale che,scegliendo il segno "-",
fornisce l'anomalia $theta$ in funzione del raggio vettore x nel moto
di un corpo attorno ad un altro per effetto della gravita'.
( il problema si semplifica immaginando uno dei due corpi di massa
molto superiore a quella dell'altro.Esempio classico Sole e Terra)
Per semplicita' poniamo:
$k=GMm,(2Em)/(L^2)=a,(2GMm^2)/(L^2)=(2km)/(L^2)=b,1/x=u$
Sostituendo si ha:
$theta-theta_o=-int(du)/(sqrt(a+bu-u^2)$
dove $theta_0$ e' l'anomalia iniziale.
L'integrale a secondo membro e' noto e risulta:
$theta-theta_o=acos[(2u-b)/(sqrt(b^2+4a))]$
Risostituendo i valori delle costanti e 1/r ad u si ottiene:
$1/r=(mk)/(L^2)[1+sqrt((1+(2EL^2)/(mk^2)))cos(theta-theta_o)]$
e questa e' l'equazione (polare) di una conica di eccentricita':
$epsilon=sqrt(1+(2EL^2)/(mk^2))$
Dalla natura di $epsilon$ ovvero di E e' possibile stabilire la forma della conica:
1)$epsilon<1 , E<0$->ellisse
2)$epsilon=1 , E=0$->parabola
3)$epsilon>1 , E>0$->iperbole
4)$epsilon=0 , E=-(mk^2)/(2L^2)$->circonferenza
karl
fornisce l'anomalia $theta$ in funzione del raggio vettore x nel moto
di un corpo attorno ad un altro per effetto della gravita'.
( il problema si semplifica immaginando uno dei due corpi di massa
molto superiore a quella dell'altro.Esempio classico Sole e Terra)
Per semplicita' poniamo:
$k=GMm,(2Em)/(L^2)=a,(2GMm^2)/(L^2)=(2km)/(L^2)=b,1/x=u$
Sostituendo si ha:
$theta-theta_o=-int(du)/(sqrt(a+bu-u^2)$
dove $theta_0$ e' l'anomalia iniziale.
L'integrale a secondo membro e' noto e risulta:
$theta-theta_o=acos[(2u-b)/(sqrt(b^2+4a))]$
Risostituendo i valori delle costanti e 1/r ad u si ottiene:
$1/r=(mk)/(L^2)[1+sqrt((1+(2EL^2)/(mk^2)))cos(theta-theta_o)]$
e questa e' l'equazione (polare) di una conica di eccentricita':
$epsilon=sqrt(1+(2EL^2)/(mk^2))$
Dalla natura di $epsilon$ ovvero di E e' possibile stabilire la forma della conica:
1)$epsilon<1 , E<0$->ellisse
2)$epsilon=1 , E=0$->parabola
3)$epsilon>1 , E>0$->iperbole
4)$epsilon=0 , E=-(mk^2)/(2L^2)$->circonferenza
karl
Karl, mi serviva per la tesina, in cui sto dimostrando le leggi di Keplero. Sono arrivato a quest'integrale e non sapevo come risolverlo...non so come ringraziarti...
Non c'e' di che:conosco i dolori e le gioie di un maturando.
Non per niente sto...dall'altra parte della barricata!
Volevo avvertirti ,anche se certamente non ne hai bisogno,che
"acos" sta per "arcocoseno".
In bocca al lupo,quindi.
karl
Non per niente sto...dall'altra parte della barricata!
Volevo avvertirti ,anche se certamente non ne hai bisogno,che
"acos" sta per "arcocoseno".
In bocca al lupo,quindi.
karl
Grazie di nuovo!
Solo una cosa: perchè la funzione col - da la legge dell'anomalia in funzione del raggio vettore e non quella con il +?
Solo una cosa: perchè la funzione col - da la legge dell'anomalia in funzione del raggio vettore e non quella con il +?
La scelta e' indifferente.Scegliendo il "+" si giunge a $theta-theta_o=-$integrale
da cui $theta_o-theta$=integrale .Passando a coseno si puo' comunque scrivere
$cos(theta-theta_o)=...$ dato che,come ben sai,cos(a)=cos(-a).
karl
da cui $theta_o-theta$=integrale .Passando a coseno si puo' comunque scrivere
$cos(theta-theta_o)=...$ dato che,come ben sai,cos(a)=cos(-a).
karl
Ok!
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