Integrale
$int_-1^1(x^2arcsenx)/(sqrt(1+x^2))dx$
Risposte
In generale una funzione $f(x)$ si definisce 'dispari' se per ogni x vale la relazione...
$f(-x)=-f(x)$ (1)
Se $f(x)$ è dispari vale la proprietà...
$int _(-a)^(+a) f(x) dx =0$ (2)
Nel nostro caso la funzione sotto il segno di integrale è dispari per cui l'integrale vale 0...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$f(-x)=-f(x)$ (1)
Se $f(x)$ è dispari vale la proprietà...
$int _(-a)^(+a) f(x) dx =0$ (2)
Nel nostro caso la funzione sotto il segno di integrale è dispari per cui l'integrale vale 0...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Wow, geniale, non ci avevo pensato
Bravo
Integrali del tipo…
$int_(-a)^(+a) f(x) dx$ (1)
… in cui non è facile trovare una primitiva di $f(x)$ spesso si risolvono in maniera assai semplice isolando la ‘parte pari’ di $f(x)$, la sola che dà contributo. In generale una qualunque funzione è la somma di una ‘parte pari’ e una ‘parte dispari’, ovvero…
$f(x)=fp(x)+fd(x)$ (2)
con…
$fp(x)=1/2 [f(x)+f(-x)]$
$fd(x)=1/2 [f(x)-f(-x)]$ (3)
Un bell’esempio mi è capitato tempo fà con una iscritta al forum di nome Paola, la quale mi ha inviato alcuni esercizi di esame di analisi 1 chiedendo disperatamente aiuto. Uno di questi esercizi chiedeva di calcolare il seguente integrale…
$int_(-3)^(+3) ln (x+sqrt(1+x^2)) dx$ (4)
Va da sè che l’approccio standard è un poco arduo. Viceversa calcolando la ‘parte pari’ della funzione da integrare risulta…
$fp(x)= 1/2 ln (sqrt(1+x^2)-x)+1/2 ln (sqrt(1+x^2)+x)=$
$=1/2 ln[(sqrt(1+x^2)-x)*(sqrt(1+x^2)+x)]=$
$=1/2 ln (1+x^2-x^2)=0$ (5)
Con un poco di sorpresa scopriamo così che l’integrale (4) vale 0… semplice no?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$int_(-a)^(+a) f(x) dx$ (1)
… in cui non è facile trovare una primitiva di $f(x)$ spesso si risolvono in maniera assai semplice isolando la ‘parte pari’ di $f(x)$, la sola che dà contributo. In generale una qualunque funzione è la somma di una ‘parte pari’ e una ‘parte dispari’, ovvero…
$f(x)=fp(x)+fd(x)$ (2)
con…
$fp(x)=1/2 [f(x)+f(-x)]$
$fd(x)=1/2 [f(x)-f(-x)]$ (3)
Un bell’esempio mi è capitato tempo fà con una iscritta al forum di nome Paola, la quale mi ha inviato alcuni esercizi di esame di analisi 1 chiedendo disperatamente aiuto. Uno di questi esercizi chiedeva di calcolare il seguente integrale…
$int_(-3)^(+3) ln (x+sqrt(1+x^2)) dx$ (4)
Va da sè che l’approccio standard è un poco arduo. Viceversa calcolando la ‘parte pari’ della funzione da integrare risulta…
$fp(x)= 1/2 ln (sqrt(1+x^2)-x)+1/2 ln (sqrt(1+x^2)+x)=$
$=1/2 ln[(sqrt(1+x^2)-x)*(sqrt(1+x^2)+x)]=$
$=1/2 ln (1+x^2-x^2)=0$ (5)
Con un poco di sorpresa scopriamo così che l’integrale (4) vale 0… semplice no?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Grazie, mi salvo questa pagina 
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