Integrale

[Fabry_Shock]

Ciao a tutti, non riesco a risolvere questo integrale, che pure sembra abbastanza facile...
Qualcuno puo' mettermi sulla strada giusta?

Integrale (x-2)/(x^2 + 2)


gracias

[Sk_Anonymous]

E' abbastanza facile: basta spezzare la funzione nella somma di due frazioni; la prima, con una lieve modifica ti da' come primitiva un logaritmo. La seconda, con un'altra lieve modifica, invece da' una arcotangente.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Fabry_Shock]

quote:

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Originally posted by Luca.Lussardi

E' abbastanza facile: basta spezzare la funzione nella somma di due frazioni; la prima, con una lieve modifica ti da' come primitiva un logaritmo. La seconda, con un'altra lieve modifica, invece da' una arcotangente.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

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Quindi verrebbe:

Int [x/(x^2+2)] - Int [2/(x^2+2)]= Int [1/(x+2/x)]-Int[1/(x^2/2+1)]=
= (Log (x + 2/x))/(1-1/x^2) - xarctg(x) + c

E' giusto?

[Sk_Anonymous]

Non ho capito per nulla che tipo di passaggi hai fatto, ma credo che non sia corretto. In realta' e' molto piu' facile: l'addendo x/(x^2+2) basta scriverlo come 1/2 2x/(x^2+2) per ottenere, integrando, 1/2 log(x^2+2). Il secondo addendo basta scriverlo come -sqrt(2) 1/[(x/sqrt(2))^2+1] per ottenere, integrando, -sqrt(2) arctan(x/sqrt(2)).

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Fabry_Shock]

quote:

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Originally posted by Luca.Lussardi

Non ho capito per nulla che tipo di passaggi hai fatto, ma credo che non sia corretto. In realta' e' molto piu' facile: l'addendo x/(x^2+2) basta scriverlo come 1/2 2x/(x^2+2) per ottenere, integrando, 1/2 log(x^2+2). Il secondo addendo basta scriverlo come -sqrt(2) 1/[(x/sqrt(2))^2+1] per ottenere, integrando, -sqrt(2) arctan(x/sqrt(2)).

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Ciao Luca, ok credo di avere capito, anche se mi rimane un dubbio:

La derivata di log(x^2+2) = 1/(x^2 +2)?
oppure
La derivata di log(x^2+2) = 1/(x^2 +2)* 2x ? (ove 2x e' la derivata dell' argomento del logaritmo)

grazie ancora

[Sk_Anonymous]

La seconda: devi derivare una funzione composta.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Camillo]

Attenzione Fabri_Shock , la derivata di y = ln (f(x))è:

y' = f'(x)/f(x).

Naturalmente la derivata di sen(f(x))è f'(x)*cos(f(x)) etc.

Camillo

[Fabry_Shock]

quote:

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Originally posted by camillo

Attenzione Fabri_Shock , la derivata di y = ln (f(x))è:

y' = f'(x)/f(x).

Naturalmente la derivata di sen(f(x))è f'(x)*cos(f(x)) etc.

Camillo

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ops ora non capisco piu' niente...
Mi sapete dire quale delle due derivate e' giusta:

secondo me e Luca.Lussardi:
f'(log(x^2+2)) = 1/(x^2 +2)* 2x

secondo quanto dice Camillo (giusto?):
f'(log(x^2+2)) =2x / [1/(x^2 +2)]= 2x(x^2 +2)

[fireball1]

Camillo ha scritto correttamente che la derivata
di ln(f(x)) è f'(x)/f(x).
La derivata di ln(x^2 + 2) è uguale alla derivata
dell'argomento del logaritmo fratto l'argomento stesso,
cioe' 2x/(x^2 + 2) e non quello che hai scritto tu!!!

[Camillo]

Tutto chiaro adesso, Fabry_Shock ? Io non avevo detto quello che tu hai scritto come esempio...ma fireball ha già chiarito.

Aggiungo un altro esempio : y = ln(sin(x^2+x)), la derivata

y' = [(2x+1)*(cos(x^2+x)]/[sin(x^2+x)] . OK ?

Camillo

[Fabry_Shock]

quote:

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Originally posted by camillo

Tutto chiaro adesso, Fabry_Shock ?

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si, tutto chiaro!!
grazie, siete grandi!!