Integrale

[nikki1]

Ho difficoltà a calcolare questi integrali
1/(COSX(1+SINX))

e^(cos(x))((xsin^3x+cosx)/(sin^2x))
come fare?

[Asimov1]

Io con integrali trigonometrici non immediati (almeno per me!!!) trovo comodissimo riportarmi attraverso le formule di eulero ad integrali di esponenziali (stando naturalmente attenti a verificare che la parte immaginaria alla fine si annulli). Ma sicuramente ci saranno metodi più furbi...

[Bandit1]

non ho mai sentito eulero: che dice?

[_prime_number]

Per il primo perchè non provi ad usare le formula parametriche?
cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2)
sen(x)=2t/(1+t^2)
dove t=tan(x/2)
Per me si semplifica molto.. Mi raccomando non scordare il dx! [:P]

Paola

[nikki1]

con le parametriche vengono fuori calcoli laboriosi,soprattutto nella 2, è possibile risolverli solo in questo modo?

[Sk_Anonymous]

quote:

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Originally posted by nikki

Ho difficoltà a calcolare quest'integrale
1/(COSX(1+SINX))

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Osserviamo che, q.o. in R: 1/(cos(x)*(1+sin(x))) = 1/cos^3(x) - sin(x)/cos^3(x) = (sin(x) - 1)*sin(x)/cos^3(x) + 1/cos(x). Ora, integrando per parti: int (sin(x) - 1)*sin(x)/cos^3(x) dx = (sin(x) - 1)/(2*cos^2(x)) - 1/2 * int 1/cos(x) dx. Pertanto: int 1/(cos(x)*(1+sin(x))) dx = int (sin(x) - 1)*sin(x)/cos^3(x) dx + int 1/cos(x) dx = (sin(x) - 1)/(2*cos^2(x)) + 1/2 * int 1/cos(x) dx = (sin(x) - 1)/(2*cos^2(x)) + 1/2 * log |tg(x/2)| + c (con c \in R), ché infatti (q.o. in R): 1/cos(x) = sin(x/2)/(2*cos(x/2)) + cos(x/2)/(2*sin(x/2)), e dunque (a meno di un'arbitraria costante additiva reale): int 1/cos(x) dx = -log|cos(x/2)| + log|sin(x/2)| = log|tg(x/2)|.

Saluti,
Salvatore Tringali

[nikki1]

In 1/(COSX(1+SINX))è possibile fare questa posizione?
sinx=z dz=cosx dx=dz/cosx
in modo tale da ottenere
dz/((1-z^2)(1+z))

[Sk_Anonymous]

quote:

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Originally posted by nikki

In 1/(COSX(1+SINX))è possibile fare questa posizione: sinx=z dz=cosx dx=dz/cosx, in modo tale da ottenere dz/((1-z^2)(1+z))

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Davvero cos(x) = + sqrt(1 - sin^2(x)), per ogni x \in R. Dunque non riesco proprio a capire come tu faccia a tirare fuori quelle relazioni, nikki...

Saluti,
Salvatore Tringali

[nikki1]

la posizione è z=sinx => dz=cosxdx => dx=dz/cosx=> dx=cosxdx/cosx

[Sk_Anonymous]

Nikki, forse non ci siamo intesi... I tuoi "conti" sono esatti, non è questo che discuto. Piuttosto le conclusioni...

quote:

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Originally posted by nikki

sinx=z dz=cosx dx=dz/cosx in modo tale da ottenere dz/((1-z^2)(1+z))

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Trascurando per un attimo l'indeterminazione sui segni (tutt'altro che trascurabile, per inciso), risulta semmai dx = dz/(sqrt(1-z^2) * (1+z)).

[nikki1]

credo non sia possibile la posizione per l'indeterminazione sui segni
dx/(COSX(1+SINX))varia variando x con -x, per il calcolo ho fatto:
1/(COSX(1+SINX))*dz/cosx=dz/(COS^2X(1+SINX))=dz/((1-z^2)(1+z))

[Asimov1]

per eulero intendo:

e^(ix) = cos x + i sin x
e^(-ix) = cos x - i sin x

da cui cos x = (e^(ix)+e^(-ix))/2 e sin x = (e^(ix)-e^(-ix))/2i