Integrale

[bags1]

Dato l'integrale generalizzato:

numeratore: cosx
denominatore: (1+sinx) * [log(1+sinx)]^alpha

da calcolarsi tra 0 e pigreco mezzi
a) si determino i valori di alpha appartenente a R in modo tale che risulti convergente
b) lo si calcoli per alpha = 2/3

non riesco a fare nessuno dei due !!!! qualcuno mi da una mano per favore??

grazie

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[bags1]

è giusto se ragiono dicendo che:
è infinita per x=0 (cioè dove non è definita) quindi perchè converga deve essere che, dato l'ordine di infinitesimo rispetto a 1/x^alpha, deve essere alpha minore di 1... giusto?

a questo punto applico taylor e mi viene fuori:
num: cosx
den: x^alpha + o(x^alpha)

quindi converge per alpha minore di 1... confermate??

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[Nidhogg]

b) Integrale di f'(x)/[f(x)^n]=-1/{(n-1)*[f(x)^(n-1)]}

3*ln(1+sin(x))^(1/3)

Estremi di integrazione 0 e pi/2:

F(pi/2)-F(0)=F(pi/2)=3*ln(1+1)^(1/3)=3*ln(2)^(1/3)=2.545062696

Ciao, Ermanno.

[bags1]

nessuno sa aiutarmi nel quesito a) ?

grazie mille a leonardo... quella formuletta non la sapevo ma effettivamente è molto utile.... grazie

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[goblyn]

a)

il problema è in x=0 dove il logaritmo si annulla.

log(1+sin(x)) --> x quando x-->0 quindi il denominatore tende a x^a. Bisogna quindi, affinché l'integrale converga, che a<1.

b) basta operare la sostituzione q=log(1+sin(x))

[bags1]

di (1+sinx) posso fregarmene giusto ? tanto in x->0 è sempre uguale alla costane 1 no? (è giusto pensare così?)

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[goblyn]

sì

però occhio ai casi in cui quell'uno è la base di una potenza con esponente che tende all'infinito... ad es (1+x)^(1/x)

[bags1]

perfetto! ho capito... grazie!!

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[bags1]

ok.

quindi se mi dicono di calcolare per quali valori di alpha converge:

integrale da 1 a +infinito di:

numeratore: x^alpha * arctg( 1/x )
denominatore: 1 + 1/x^2

io posso dire che arctg(1/x) è asintotico ad 1/x, quindi diventa:

numeratore: x^( alpha-1 )
denominatore: 1 + 1/x^2

per x->+infinito 1+1/x^2 è costante 1 (me ne frego) e quindi convergerà per:

1-alpha > 1 cioè se alpha<0 giusto ?


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[Sk_Anonymous]

Corretto.

Luca77