Integrale.....

[amareggiato]

quando ho un integrale del tipo int ( 1 + x^2)/un polinomio di 2° grado e magari tale denominatore non ha radici reali, come procedo?
Mi spiego..

se il delta del denom è > 0 lo scompongo in (x-r1)(x+r2) e applico la regola delle costanti..successivamente il principio d'identità.. giusto?

se il delta è uguale o minore di zero.. so come si scompone.. ma come agisco?

Inoltre in integrali fratti il numeratore deve avere grado MINORE del nonom.. oppure minore o UGUALE al denom?

[Principe2]

ti do un procedimento, ma non so se è il più breve:
fai la divisione,e ti viene una costante più un rapporto di polinomi di cui quello al numeratore ha grado 1 e quello al denominatore è lo stesso di partenza e ha delta<0 per ipotesi.
con qualche giochetto aritmetico ti fai venire al numeratore di questo polinomio la derivata del denominatore. d'altra parte ti rimane una costante fratto quel polinomio di secondo grado. a questo punto usi l'identità:
(ax^2 + bx + c) = (sqrt(a)x + b/2sqrt(a))^2 - (b/2sqrt(a))^2 + c
e te lo porti all'arcotangente.
ti faccio un esempio per chiarezza

(x^2+1)/(x^2+x+1) dx

dopo aver fatto la divisione hai:

dx - x/(x^2+x+1) dx

consideriamo solo il secondo integrale; con un paio di giochetti ottieni

1/2[(2x+1)/(x^2+x+1) dx - 1/(x^2+x+1) dx]

consideriamo solo il secondo integrale, otteniamo, con la formula che ti ho detto:

1/[(x+1/2)^2 + 3/4] dx

da cui, dopo un altro paio di giochetti:

2sqrt(3)/3 [2/sqrt(3)]/[(2x + 1)/sqrt(3)]^2 + 1 dx

che è immediato.

ciao, ubermensch