Integrale ∫√(1+x²)dx

[Jack871]

Ciao.

Non riesco a dimostrare la seguente primitiva:

$int sqrt(1+x^2) \ dx = 1/2[log(x + sqrt(1+x^2)) + x sqrt(1+x^2)]$

operando la sostituzione:

$x = sinh t$

$dx = cosh t \ dt$

(ho visto che si può calcolare anche con la sostituzione $x = tan t$, ma voglio risolverlo con il seno iperbolico)

con la sostituzione sopra si ottiene quindi:

$int sqrt(1+sinh^2 t) \ cosh t \ dt = int cosh^2 t \ dt$

dove ho chiaramente sfruttato l'identità

$cosh^2 t - sinh^2 t = 1$

proseguendo trovo che

$int cosh^2 t \ dt = int ({e^t+e^{-t}}/2)^2 \ dt = int {e^{2t}+2+e^{-2t}}/4 \ dt = 1/4 int [e^{2t}/2 2+2-e^{-2t}/2 (-2)] \ dt =$

$ = 1/4 (e^{2t}/4+2t+e^{-2t}/4) = t/2 + {e^{2t}+e^{-2t}}/16$

ora eseguo la sostituzione "inversa"

$t = \text{arcsinh} \ x = log(x+sqrt(1+x^2))$

e trovo che

$1/2 log(x+sqrt(1+x^2)) + 1/16 [(x+sqrt(1+x^2))^2+(x+sqrt(1+x^2))^{-2}]$

perciò il primo termine della soluzione l'ho trovato, ora resta da dimostrare che

$1/16 [(x+sqrt(1+x^2))^2+(x+sqrt(1+x^2))^{-2}] = 1/2 x sqrt(1+x^2)$

e qui mi serve il vostro aiuto, a meno di non aver sbagliato qualcosa nei calcoli precedenti.

Grazie!

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Non ho ancora controllato tutti i conti, ma un errore penso di averlo trovato: segnalo, infatti, che la funzione primitiva in $t$ dovrebbe essere data da (ignorando la costante arbitraria di integrazione)

$t/2 + {e^{2t}-e^{-2t}}/8$

e non da

$t/2 + {e^{2t}+e^{-2t}}/16$

Infatti la primitiva di $e^{2t}$ è $e^{2t}/2$, mentre la primitiva di $e^{-2t}$ è $e^{-2t}/((-2))=-e^{-2t}/2$ (sempre ignorando la costante arbitraria di integrazione).

Saluti.

[Jack871]

Grazie mille per la risposta.

Giustamente il risultato dell'integrale è

$int cosh^2 t \ dt = t/2 + {e^{2t}-e^{-2t}}/8$

Grazie.

Tuttavia mi ritrovo bloccato più o meno nella stessa situazione di prima, ovvero sostituendo

$t = \text{arcsinh} \ x = log(x+sqrt(1+x^2))$

si ha

$1/2 log(x+sqrt(1+x^2)) + 1/8 [(x+sqrt(1+x^2))^2 - (x+sqrt(1+x^2))^{-2}]$

Quindi il primo termine combacia con quello della soluzione, mentre per il secondo occorre mostrare che

$1/8 [(x+sqrt(1+x^2))^2 - (x+sqrt(1+x^2))^{-2}] = 1/2 x(1+x^2)$

Mi rendo conto che a questo punto si tratta solo di calcoli algebrici, ma non riesco a saltarne fuori.

Ho pensato anche ad un'altra strada, facendo un passo indietro

$t/2 + {e^{2t}-e^{-2t}}/8 = t/2 + 1/4 {e^{2t}-e^{-2t}}/2 = t/2 + 1/4 sinh 2t$

Anche qui però mi blocco perché quel 2 nell'argomento del seno iperbolico non mi permette una sostituzione "pulita".

Grazie.

[Lo_zio_Tom]

"Jack87":

(ho visto che si può calcolare anche con la sostituzione $x = tan t$, ma voglio risolverlo con il seno iperbolico)

Si può anche risolvere molto semplicemente per parti sena alcuna sostituzione. ...ma lo saprai sicuramente. ....

[Sk_Anonymous]

...oppure si potrebbe tener conto del fatto che

$intcosh^2tdt=(t+cosht*sinht)/2+C$

Forse ti potrebbe essere più comoda quest'espressione, per trovare un risultato che sia funzione della variabile originale $x$.

Dettagli ricavo ultimo integrale (v.testo nascosto)

Applicando il metodo d'integrazione per parti, si ha

$intcosh^2tdt=cosht*sinht-intsinh^2tdt=cosht*sinht+int(1-cosh^2t)dt$

cioè

$intcosh^2tdt=cosht*sinht+t-intcosh^2tdt$

quindi

$2intcosh^2tdt=cosht*sinht+t Rightarrow intcosh^2tdt=(t+cosht*sinht)/2+C$

Saluti.

[Jack871]

Grazie. Forse ci siamo.

L'espressione suggerita (a cui si poteva giungere anche osservando che $sinh 2t = 2 cosh t sinh t$) mi ha dato un'idea.

Infatti sostituendo ancora una volta

$t = \text{arcsinh} \ x = log(x + sqrt(1+x^2))$

si ottiene

${t + sinh t cosh t}/2$

$= {\text{arcsinh} \ x + sinh (\text{arcsinh} \ x) \ cosh (\text{arcsinh} \ x)}/2$

$= 1/2 [log(x + sqrt(1+x^2)) + x sqrt(1+x^2)]$

in virtù del fatto che

$cosh (\text{arcsinh} \ x) = sqrt(1 + x^2)$ (dimostrazione in spoiler per chi fosse interessato)

che è quanto volevo dimostrare.

Grazie mille!

$cosh (\text{arcsinh} \ x) = cosh alpha$

$rArr \ \text{arcsinh} \ x = alpha \ rArr \ x = sinh alpha \ rArr \ x^2 = sinh^2 alpha = cosh^2 alpha - 1$

$rArr \ cosh^2 alpha = 1 + x^2 \ rArr \ cosh alpha = +-sqrt(1 + x^2)$

Posso scartare la soluzione negativa essendo il coseno iperbolico definito positivo per ogni valore di $alpha$.

In conclusione

$cosh (\text{arcsinh} \ x) = sqrt(1 + x^2)$

[Sk_Anonymous]

Lieto di essere stato utile.

Saluti.