Integrale 1/sqrt(-x^2+5x-4)
Salve ho quest'altro esercizio datomi dal professore.
Devo dire che questo è l'unico integrale che mi ha bloccato e non so come procedere anche con un suo suggerimento.
$\int 1/sqrt(-x^2+5x-4) dx $
Il prof mi ha consigliato di scomporre sotto come $\ -(x-4)(x-1) $
Ma non so che farmene di questo suggerimento.
Grazie
Devo dire che questo è l'unico integrale che mi ha bloccato e non so come procedere anche con un suo suggerimento.
$\int 1/sqrt(-x^2+5x-4) dx $
Il prof mi ha consigliato di scomporre sotto come $\ -(x-4)(x-1) $
Ma non so che farmene di questo suggerimento.
Grazie
Risposte
Ciao! Così, ad occhio, considerando che hai un polinomio di grado due sotto radice, potresti provare a ricondurti ad un arcosen.. cioè manipolando il denominatore, dovresti trovarti in una situazione del genere
$int f'(x)dx/(1-f^2(x))^(1/2)$
$int f'(x)dx/(1-f^2(x))^(1/2)$
per il momento guardo solo il polinomio a denominatore:
$-x^2+5x+4=-(x^2-5x+4)$ .
Ora, per arrivare alla forma che ti ho detto sopra, fa comodo tirare fuori da quel polinomio lo svilupo del quadrato di un binomio sommato ad una costante..
mmhh. non so se sono stato chiaro..provo a scrivere un ragionamento che spero ti aiuti:
intanto, lo sviluppo del quadrato di un binomio è $(x+b)^2= x^2+2bx+b^2$ (nota: il coefficiente di x è 1).
Il problema che stiamo affrontato è : avendo questo $x^2+2bx+c$, dobbiamo rilasire a questo $(x+b)^2$ ,
quindi bisognerà pistolare con il termine noto!
il gioco è immediato se $(b/2)^2=c$, sarebbe $x^2+2bx+c=x^2+2bx+b^2=(x+b)^2$
invece, nel caso fosse $(b/2)^2!=c$ puoi trovre una soluzoine del genere:
$x^2+2bx+c=x^2+2bx+(b^2-k)=(x^2+2bx+b^2)-k=(x+b)^2-k$ con $k=b^2-c$..
In sostanza: il coefficiente della x è -5 perciò, se questo deve essere il "doppio prodotto" $-5=2*(1*b)$, il nostro b è $b=-5/2$, mentre c è $c=+4$ ..
Facendo il quadrato trovi quanto vale $b^2$ ...$(x-5/2)^2=x^2-5x+25/4$ quindi $b^2=25/4$.
Bene.. adesso, ponendo $k=b^2-c=25/4-4=9/4$
hai che $sqrt(-(x^2-5x+4))=sqrt(-(x^2-5x+25/4-9/4))=sqrt(-((x^2-5x+25/4)-9/4))=$
$=sqrt(-((x-5/2)^2-9/4))=sqrt(-(x-5/2)^2+9/4)=3/2 sqrt(-4/9(x-5/2)^2+1)=3/2 sqrt(-((x-5/2)2/3)^2+1)$=
$=3/2 sqrt(-((2x)/3-5/3)^2+1)$.
Adesso guardiamo tutto l'integrale e vediamo che
$int dx/sqrt(-x^2+5x-4) = int dx/(3/2 sqrt(1-((2x)/3-5/3)^2)) $ che è proprio quello ceh volevamo ottenere
p.s. : scusa la lunghezza del post.. ma era una vita che speravo di poter spiegare questa cosa: per impararla ci ho messo così tanto tempo che ora il mondo intero deve sapere che la so fare (sperando che sia corretta!) ehhe
$-x^2+5x+4=-(x^2-5x+4)$ .
Ora, per arrivare alla forma che ti ho detto sopra, fa comodo tirare fuori da quel polinomio lo svilupo del quadrato di un binomio sommato ad una costante..
mmhh. non so se sono stato chiaro..provo a scrivere un ragionamento che spero ti aiuti:
intanto, lo sviluppo del quadrato di un binomio è $(x+b)^2= x^2+2bx+b^2$ (nota: il coefficiente di x è 1).
Il problema che stiamo affrontato è : avendo questo $x^2+2bx+c$, dobbiamo rilasire a questo $(x+b)^2$ ,
quindi bisognerà pistolare con il termine noto!
il gioco è immediato se $(b/2)^2=c$, sarebbe $x^2+2bx+c=x^2+2bx+b^2=(x+b)^2$
invece, nel caso fosse $(b/2)^2!=c$ puoi trovre una soluzoine del genere:
$x^2+2bx+c=x^2+2bx+(b^2-k)=(x^2+2bx+b^2)-k=(x+b)^2-k$ con $k=b^2-c$..
In sostanza: il coefficiente della x è -5 perciò, se questo deve essere il "doppio prodotto" $-5=2*(1*b)$, il nostro b è $b=-5/2$, mentre c è $c=+4$ ..
Facendo il quadrato trovi quanto vale $b^2$ ...$(x-5/2)^2=x^2-5x+25/4$ quindi $b^2=25/4$.
Bene.. adesso, ponendo $k=b^2-c=25/4-4=9/4$
hai che $sqrt(-(x^2-5x+4))=sqrt(-(x^2-5x+25/4-9/4))=sqrt(-((x^2-5x+25/4)-9/4))=$
$=sqrt(-((x-5/2)^2-9/4))=sqrt(-(x-5/2)^2+9/4)=3/2 sqrt(-4/9(x-5/2)^2+1)=3/2 sqrt(-((x-5/2)2/3)^2+1)$=
$=3/2 sqrt(-((2x)/3-5/3)^2+1)$.
Adesso guardiamo tutto l'integrale e vediamo che
$int dx/sqrt(-x^2+5x-4) = int dx/(3/2 sqrt(1-((2x)/3-5/3)^2)) $ che è proprio quello ceh volevamo ottenere
p.s. : scusa la lunghezza del post.. ma era una vita che speravo di poter spiegare questa cosa: per impararla ci ho messo così tanto tempo che ora il mondo intero deve sapere che la so fare (sperando che sia corretta!) ehhe
Si ho capito il ragionamento , ma non ho capito a cosa mi sia servito il consiglio del professore.Ho capito che il tuo metodo mi può servire a ricavare un arcos ( perché hai detto due?).
perché hai detto
? (scusa il gioco di parole ) non ho capito cosa mi chiedi
"Andp":
perché hai detto due?
? (scusa il gioco di parole
) non ho capito cosa mi chiedi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo