Integrale 1/sin2x

[a4321]

Buonasera
perché l'integrale di
1/sin2x in dx fa 1/2log |tan(x)| ?
Non riesco proprio a capire scusatemi
Grazie mille

[mc2]

Si usa l'identita` trigonometrica:

[math]\sin x=\frac{2\tan\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}}[/math]

Quindi:

[math]\int\frac{dx}{\sin(2x)}=\int\frac{1+\tan^2 x}{2\tan x}dx=
\frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{\tan x}+\tan x\right)dx=
[/math]

[math]=
\frac{1}{2}\left(\int \frac{\cos x}{\sin x}dx+ \int \frac{\sin x}{\cos x}dx\right)=
\frac{1}{2}\left(\log|\sin x| - \log|\cos x|\right)=\frac{1}{2}\log|\tan x|
[/math]

[a4321]

Ma non può starci un altro modo per farlo? Scusi ma io a scuola non studiai mai gli integrali ho delle difficoltà non è che potrebbe dirmi perché alcuni risolvono questo integrale moltiplicando per cosx/cosx dopo aver usato la formula di duplicazione al denominatore?
Grazie mille scusi

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Non capisco neanche perché all'improvviso appare il logaritmo nelle formule di integrazione non è che potrebbe aiutarmi? Grazie mille

[mc2]

Ci sono sicuramente altri modi, questo secondo me e` il piu` semplice. Se tu hai visto un altro metodo prova a postarlo qui e vediamo qual e` il passaggio che non ti e` chiaro.

Il logaritmo compare perche' hai una forma del tipo

[math]\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log|f(x)|[/math]

che e` un integrale fondamentale, di quelli che si devono ricordare a memoria!

Gli integrali, se non li hai mai fatti, li devi studiare per capire... mi spiace ma non c'e` altro da fare...

[a4321]

Grazie mille
ho letto sul libro la teoria sugli integrali indefiniti. Riguardo all'esercizio il docente che lo ha svolto forse ha dato per scontato che l'integrale sia nella forma che Lei ha scritto: derivata fratto funzione = logartimo di f(x). Il problema è che io non vedo dove sta la derivata al numeratore? Il docente ha moltiplicato per 1 cioè per il rapporto tra cosx e cosx dopo aver sostituito al denominatore la formula di duplicazione. Intanto quindi devo imparare a trovare la derivata al numeratore: non capisco perché il numeratore sia derivata del denominatore
Ci riprovo a farlo e cerco di postarlo scusi tanto grazie mille

Aggiunto 1 giorno più tardi:

Questo è lo svolgimento che ha usato il docente

Aggiunto 9 minuti più tardi:

Non riesco ad allegare il file quindi lo scrivo:
1/2 S (integrale) 1/sinxcosx dx
cosx/sinx per 1/cos^2x dx
1/tangente× 1/cos^2x in dx
Come si applica la formula del rapporto tra derivata e funzione stessa? Grazie milld

[mc2]

Anche il metodo dei tuo docente e` equivalente a quello che ho indicato io.

Nel mio metodo ho due termini. Per il primo:

[math]\int\frac{\cos x}{\sin x} dx[/math]

Pongo :

[math]f(x)=\sin x[/math]

, quindi

[math]f'(x)=\cos x[/math]

(queste sono tra le derivate fondamentali) quindi si ha proprio

[math]\frac{f'(x)}{f(x)}[/math]

sotto integrale!

Per il secondo termine si fa in modo analogo, scegliendo

[math]f(x)=\cos x[/math]

e allora nella derivata compare un segno meno:

[math]f'(x)=-\sin x[/math]

, eccetera.

Alla fine si sommano i due termini.


Con il metodo del tuo prof, la funzione a denominatore e` tan(x), quindi

[math]f(x)=\tan x[/math]

e la derivata allora e`

[math]f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}[/math]

. In questo modo si ha direttamente il risultato finale