Integrale 1/lnx

[franc.messina]

mi sapete dire quando fa int:1/lnx

[franc.messina]

e int: 1/ ln^2x ?

[_Tipper]

non penso che le primitive di queste funzioni si possano esplicitare

[franc.messina]

cioè come devo fare per poter risolvere l'int.
Grazie.
basterebbe lnx=t >> x=e^t >> dx=e^t >> int: e^t/t

[Sk_Anonymous]

Ponendo la sostituzione ln x=t la funzione sotto il segno di integrale diviene e^t/t. La sua primitiva è una funzione non elementare nota come ‘logaritmo integrale’ della quale si conosce uno sviluppo in serie…

Int e^t/t dt = ln t + Sum [n=1, +00] t^n/(n*n!) [1]

Se poniamo t=ln x si ha quindi...

Int 1/ln x dx = ln (ln x) + Sum [n=1,+00] (ln x)^n/(n*n!) [2]

cordiali saluti!...

lupo grigio

[franc.messina]

ma allora questo int: (lnx-1)/ln^2x tra 2 ed e che io ho divido in int:1/lnx - int:1/ln^2x come si risolve?

[Sk_Anonymous]

Ponendo ancora ln x=t la nuova funzione da integrare diviene e^t/(t^2). Integrando per parti si ha…

Int e^t/(t^2) dt = - e^t/t + Int e^t/t dt [1]

Per cui si è ricondotti ancora al calcolo della funzione ‘logaritmo integrale’. Nel caso che la funzione da integrare sia però f(t)= e^t*(1-t)/(t^2) si ha…

Int f(t) dt = -e^t/t + Int e^t/t dt – Int e^t/t dt = - e^t/t + c [2]

… essendo c una ‘costante arbitraria’… Ponendo di nuovo t=ln x si ha infine…

Int (ln x –1)/(ln x^2) dx = - x/ln x + c [3]

cordiali saluti!…

lupo grigio

[Nidhogg]

@lupo grigio: un errore di segno per quando riguarda la primitiva trovata. Questa è x/lnx+c e non -x/lnx+c.

[Sk_Anonymous]

Esatto... il mio errore è stato quello di scrivere 'ln x-1=1-t' in luogo di 'ln x-1=t-1'...

... scherzi della svogliatezza... e della vecchiaia [:(]...

cordiali saluti!...

lupo grigio