Integrale
Salve, potete aiutarmi a risolvere il seguente integrale?
$$\int _{x^{3}}^{x} e^{-t^{2}} sen(xt)dt$$
$$\int _{x^{3}}^{x} e^{-t^{2}} sen(xt)dt$$
Risposte
Per avere una cosa più leggibile:
$\int _{x^{3}}^{x} e^{-t^{2}} sen(xt)dt$
$\int _{x^{3}}^{x} e^{-t^{2}} sen(xt)dt$
Grazie per l'intervento, ghira.
[xdom="Mephlip"]Joker1: Per cortesia, modifica il messaggio per renderlo più leggibile; anche se ghira l'ha già fatto per te, è segno di gentilezza verso coloro che ti aiutano su questo forum. Grazie.[/xdom]
Venendo al problema, un modo è il seguente: denotando con \(\Im(z)\) la parte immaginaria di \(z\), osserva che \(\sin(xt)=\Im(e^{ixt})\) e che \(e^{-t^2}\) è reale per ogni \(x^3 \le t \le x\) in quanto \(x\) è reale (presumo). Puoi ora provare a completare il quadrato all'esponente di \(e^{-t^2+ixt}\).
[xdom="Mephlip"]Joker1: Per cortesia, modifica il messaggio per renderlo più leggibile; anche se ghira l'ha già fatto per te, è segno di gentilezza verso coloro che ti aiutano su questo forum. Grazie.[/xdom]
Venendo al problema, un modo è il seguente: denotando con \(\Im(z)\) la parte immaginaria di \(z\), osserva che \(\sin(xt)=\Im(e^{ixt})\) e che \(e^{-t^2}\) è reale per ogni \(x^3 \le t \le x\) in quanto \(x\) è reale (presumo). Puoi ora provare a completare il quadrato all'esponente di \(e^{-t^2+ixt}\).
Ciao Joker1,
Se l'integrale proposto è
$\int_{x^3}^x e^{-t^{2}} sin(xt)\text{d}t $
osserverei che si ha:
$\int_{x^3}^x e^{-t^2} sin(xt) \text{d}t = \text{Im}[\int_{x^3}^x e^{-t^2 + ixt} \text{d}t] = \text{Im}[\sqrt(\pi)/2 e^(-x^2/4) \text{erf}(t - (i x)/2)]_{x^3}^x $
Se l'integrale proposto è
$\int_{x^3}^x e^{-t^{2}} sin(xt)\text{d}t $
osserverei che si ha:
$\int_{x^3}^x e^{-t^2} sin(xt) \text{d}t = \text{Im}[\int_{x^3}^x e^{-t^2 + ixt} \text{d}t] = \text{Im}[\sqrt(\pi)/2 e^(-x^2/4) \text{erf}(t - (i x)/2)]_{x^3}^x $
Sì, è quello l'integrale. Scusatemi per il formato poco leggibile, ma non riesco a sistemarlo.
Cosa significa erf()?
Tranquillo, basta che metti dei dollari che comprendono le formule come segue:
Se invece vuoi le formule centrate nella pagina, raddoppia i dollari:
$\int _{x^{3}}^{x} e^{-t^{2}} sen(xt)dt$Se invece vuoi le formule centrate nella pagina, raddoppia i dollari:
$$\int _{x^{3}}^{x} e^{-t^{2}} sen(xt)dt$$
Grazie
"Joker1":
Cosa significa erf()
Si tratta della funzione degli errori, in inglese error function:
$\text{erf}(z) := 2/\sqrt{\pi}\int_0^z e^{- t^2}\text{d}t $
Potresti dare un'occhiata ad esempio ai seguenti link:
https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_degli_errori
https://en.wikipedia.org/wiki/Error_function
(qui fra gli External links c'è una tavola di integrali fra i quali c'è anche quello in esame)
https://mathworld.wolfram.com/Erf.html
Va bene, grazie.
"Joker1":
Salve, potete aiutarmi a risolvere il seguente integrale?
$$\int _{x^{3}}^{x} e^{-t^{2}} sen(xt)dt$$
Scusa la domanda, ma qual è il testo dell'esercizio?
Cosa devi farci con questo integrale?
È un termine di un'equazione di cui viene chiesto di stabilire se definisce una funzione implicita. Ho chiesto la risoluzione sia per provare a togliere l'integrale sostituendolo con il suo risultato, sia per curiosità, perché non avevo idea di come trattare un integrale di questo tipo.
Posta l'esercizio... Probabilmente risolvere l'integrale non serve assolutamente a nulla. 
Dire se l'equazione
$$x^2+y^2-\int _{x^{3}}^{x} e^{-t^{2}} sen(xt)dt+sen(yz)+x=0 $$
definisce implicitamente una funzione in un intorno dell'origine. Scrivere l'equazione del piano tangente nell'origine al grafico di tale funzione.
$$x^2+y^2-\int _{x^{3}}^{x} e^{-t^{2}} sen(xt)dt+sen(yz)+x=0 $$
definisce implicitamente una funzione in un intorno dell'origine. Scrivere l'equazione del piano tangente nell'origine al grafico di tale funzione.
Appunto... Ci sono teoremi che legano la possibilità di definire una funzione implicita alla determinazione di una soluzione (numerica) $(x_0,y_0)$ dell'equazione $F(x,y)=0$ ed al comportamento delle derivate parziali del primo membro, cioè $F_x$ ed $F_y$, nel punto $(x_0,y_0)$ (o intorno ad esso).
Conosci qualcuno di questi teoremi?
Quali sono le ipotesi da verificare?
Nel tuo caso, sono soddisfatte o no?
Una volta che hai riflettuto su questo, ti potrebbe tornare utile il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (che, per chiamarsi così, un motivo ci sarà pure, no?!?) ed un risultato di derivazione (figlio del TFCI e del Teorema di Derivazione della Funzione Composta) di cui si è scritto millenni fa qui.
Conosci qualcuno di questi teoremi?
Quali sono le ipotesi da verificare?
Nel tuo caso, sono soddisfatte o no?
Una volta che hai riflettuto su questo, ti potrebbe tornare utile il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (che, per chiamarsi così, un motivo ci sarà pure, no?!?) ed un risultato di derivazione (figlio del TFCI e del Teorema di Derivazione della Funzione Composta) di cui si è scritto millenni fa qui.
Relativamente alle funzioni implicite conosco il teorema del Dini.
Puoi mostrarmi come risolverlo?
"Joker1":
Puoi mostrarmi come risolverlo?
Puoi mostrarmi che cosa hai fatto finora?
Hai verificato se sono soddisfatte le ipotesi?
Ho preso in considerazione l'origine (perché è suggerito dal testo) e ho verificato che la f(x,y,z) (tutto il primo membro) è tale che f(0,0,0)=0, e inoltre la derivata di f rispetto la x è diversa da 0 in (0,0,0). Per completare le ipotesi devo avere la continuità della f e della derivata di f rispetto la variabile x, però ho difficoltà per la presenza dell'integrale. Gli altri termini sono chiaramente continui, l'integrale mi confonde.
È proprio per questo che gugo82 ti ha suggerito di rivedere quei concetti riguardo il teorema fondamentale del calcolo integrale: prova a ripassare quelli e vedere se riesci a sbloccarti.
Non riesco.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo