Integrale
studiando il decadimento radioattivo e il tasso di formazione dei nuclei radioattivi R, mi sono imbattuta in questo passaggio che non riesco a capire $ dN=Rdt-lambdaNdt->N(t)=R/lambda(1-e^{lambdat)) $
potreste darmi una mano con questa integrazione?
potreste darmi una mano con questa integrazione?
Risposte
Visto il contesto, ti direi: raccogli a fattor comune $\text{d}t$, dividi per $R-\lambda N$ e integra ambo i membri rispetto a $t$ ricordando che $N$ è una funzione di $t$. Servirebbe anche una condizione iniziale su $N$ per non avere costanti di integrazione.
so che N(t=0)=0.
ma $ int(dN(t))/(R-lambdaN)=intdt->-ln(R-lambdaN)/lambda=t $ ?
ma $ int(dN(t))/(R-lambdaN)=intdt->-ln(R-lambdaN)/lambda=t $ ?
Diciamo di sì. Il calcolo dell'integrale è corretto, ma se vuoi usare l'integrazione indefinita devi mettere a uno dei due membri dell'uguaglianza una costante di integrazione; la costante la puoi determinare imponendo $N(t_0)=0$.
Altrimenti, puoi integrare direttamente tra $t_0$ e $t$:
$$\int_{t_0}^t \frac{\text{d}N(s)}{R-\lambda N(s)}\text{d}s=\int_{t_0}^t \text{d}s$$
Altrimenti, puoi integrare direttamente tra $t_0$ e $t$:
$$\int_{t_0}^t \frac{\text{d}N(s)}{R-\lambda N(s)}\text{d}s=\int_{t_0}^t \text{d}s$$
integro tra 0 e t sfruttando N(0)=0.
però ottengo $ -ln(R-lambdaN)/lambda-(-ln(R)/lambda)=t $ che non corrisponde al risultato..
però ottengo $ -ln(R-lambdaN)/lambda-(-ln(R)/lambda)=t $ che non corrisponde al risultato..
Il risultato da te citato esplicita la funzione $N$. Devi risolvere un'equazione logaritmica.
c'è un segno all'esponente che non mi tornava, ma avevo trascritto male io, effettivamente è $ e^(-lambdat) $ . posso approffitarne per chiederti una cosa inerente? provando con una soluzione della forma $ N_2(t)=Ae^{-lambda_1t)+Be^{-lambda_2t) $ dovrei ottenere $ N_2(t)=N_0lambda_1/(lambda_2-lambda_1)(e^{-lambda_1t)-e^(-lambda_2t)) $ sapendo che il numero di nuclei madre decade $ dN_1=-lambda_1N_1dt $ invece le nuclei figlie $ dN_2=lambda_1N_1dt-lambda_2N_2dt $.
condizioni iniziali sono: $ N_1(t=0)=N_0 $ e $ N2(t=0)=0 $
condizioni iniziali sono: $ N_1(t=0)=N_0 $ e $ N2(t=0)=0 $
Sì, non tornava neanche a me in effetti. Di solito, i decadimenti hanno fattori che tendono a $0$ per $t \to +\infty$.
Per l'altra domanda, mi sembra che sia un'equazione differenziale risolta col metodo di somiglianza. Dovresti aver visto queste cose nei corsi di analisi: basta sostituire la soluzione $N_2$ nell'equazione differenziale e stabilire chi sono $A$ e $B$.
Il resto dei dettagli di fisica non li conosco, se hai dubbi su quello ti conviene chiedere nella stanza di fisica.
Per l'altra domanda, mi sembra che sia un'equazione differenziale risolta col metodo di somiglianza. Dovresti aver visto queste cose nei corsi di analisi: basta sostituire la soluzione $N_2$ nell'equazione differenziale e stabilire chi sono $A$ e $B$.
Il resto dei dettagli di fisica non li conosco, se hai dubbi su quello ti conviene chiedere nella stanza di fisica.
si, io ho fatto così $ -lambda_1Ae^(-lambda_1t)dt-lambda_2Be^{-lambda_2t)dt=lambda_1N_1dt-lambda_2Ae^(-lambda_1t)dt-lambda_2Be^(-lambda_2t)dt $
Ciao itisscience,
Sapendo che il numero di nuclei madre decade secondo l'equazione $\text{d}N_1=−\lambda_1 N_1 \text{d}t $, integrandola con la condizione iniziale $N_1(0) = N_0 $ che hai scritto si trova subito $N_1(t) = N_0 e^{- \lambda_1 t} $
Se ora inseriamo questa informazione nell'altra equazione dei nuclei figlie $\text{d}N_2 = \lambda_1 N_1 \text{d}t - \lambda_2 N_2 \text{d}t $ si ottiene l'equazione differenziale seguente:
$(\text{d}N_2)/(\text{d}t) + \lambda_2 N_2 = \lambda_1 N_0 e^{- \lambda_1 t}$
Quest'ultima è un'equazione differenziale ordinaria lineare del primo ordine la cui soluzione è nota ed è la seguente:
$N_2(t) = c e^{- \lambda_2 t} + (\lambda_1 N_0 e^{- \lambda_1 t})/( \lambda_2 - \lambda_1) $
Per determinare la costante $c$ basta imporre la validità dell'altra condizione iniziale che hai scritto $N_2(0) = 0$, sicché si ha:
$0 = c + (\lambda_1 N_0)/(\lambda_2 - \lambda_1) \implies c = - (\lambda_1 N_0)/( \lambda_2 - \lambda_1) $
Quindi in definitiva si ha:
$N_2(t) = (\lambda_1 N_0 )/(\lambda_2 - \lambda_1) e^{- \lambda_1 t} - (\lambda_1 N_0)/(\lambda_2 - \lambda_1) e^{- \lambda_2 t} = N_0 (\lambda_1)/(\lambda_2 - \lambda_1)(e^{- \lambda_1 t} - e^{- \lambda_2 t}) $
$A = - B = N_0 (\lambda_1)/(\lambda_2 - \lambda_1) $
Sapendo che il numero di nuclei madre decade secondo l'equazione $\text{d}N_1=−\lambda_1 N_1 \text{d}t $, integrandola con la condizione iniziale $N_1(0) = N_0 $ che hai scritto si trova subito $N_1(t) = N_0 e^{- \lambda_1 t} $
Se ora inseriamo questa informazione nell'altra equazione dei nuclei figlie $\text{d}N_2 = \lambda_1 N_1 \text{d}t - \lambda_2 N_2 \text{d}t $ si ottiene l'equazione differenziale seguente:
$(\text{d}N_2)/(\text{d}t) + \lambda_2 N_2 = \lambda_1 N_0 e^{- \lambda_1 t}$
Quest'ultima è un'equazione differenziale ordinaria lineare del primo ordine la cui soluzione è nota ed è la seguente:
$N_2(t) = c e^{- \lambda_2 t} + (\lambda_1 N_0 e^{- \lambda_1 t})/( \lambda_2 - \lambda_1) $
Per determinare la costante $c$ basta imporre la validità dell'altra condizione iniziale che hai scritto $N_2(0) = 0$, sicché si ha:
$0 = c + (\lambda_1 N_0)/(\lambda_2 - \lambda_1) \implies c = - (\lambda_1 N_0)/( \lambda_2 - \lambda_1) $
Quindi in definitiva si ha:
$N_2(t) = (\lambda_1 N_0 )/(\lambda_2 - \lambda_1) e^{- \lambda_1 t} - (\lambda_1 N_0)/(\lambda_2 - \lambda_1) e^{- \lambda_2 t} = N_0 (\lambda_1)/(\lambda_2 - \lambda_1)(e^{- \lambda_1 t} - e^{- \lambda_2 t}) $
$A = - B = N_0 (\lambda_1)/(\lambda_2 - \lambda_1) $
"itisscience":
posso approffitarne per chiederti una cosa inerente? provando con una soluzione della forma $ N_2(t)=Ae^{-lambda_1t)+Be^{-lambda_2t) $ dovrei ottenere [...]
Il punto è: perché dovresti provare una soluzione del tipo $A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)$ se l'equazione è del primo ordine non omogenea?
Quello è un tentativo saggio per equazioni lineari del secondo ordine omogenee.
Il guess corretto per equazioni lineari del primo ordine è $A e^(lambda t)$ se l'equazione è omogenea; se, invece, non lo è, puoi provare con una funzione del tipo $A e^(lambda t) + f(t)$ in cui $ f$ è una funzione "dello stesso tipo" del termine noto.
In questo caso, l'equazione non è omogenea ed il termine noto è un polinomio di grado $0$ (una costante), quindi un tentativo buono è $A e^(lambda t) + C$.
potresti spiegarmi questo?
le soluzioni dell'equazione sono $ -lambda_2/2+-(√(lambda_2^2+4lambda_1N_0e^(-lambda_1t)))/2 $
"pilloeffe":
Quest'ultima è un'equazione differenziale ordinaria lineare del primo ordine la cui soluzione è nota ed è la seguente:
$
le soluzioni dell'equazione sono $ -lambda_2/2+-(√(lambda_2^2+4lambda_1N_0e^(-lambda_1t)))/2 $
"itisscience":
le soluzioni dell'equazione sono [...]
A questo punto temo tu stia facendo riferimento all'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine che si ottiene da quelle che hai scritto...
Infatti si ha:
$(\text{d}N_2)/(\text{d}t) = \lambda_1 N_1 - \lambda_2 N_2 $
Derivandola si ha:
$(\text{d}^2N_2)/(\text{d}t^2) = \lambda_1 (\text{d}N_1)/(\text{d}t) - \lambda_2 (\text{d}N_2)/(\text{d}t) $
Considerando che $ N_1(t) = N_0 e^{- \lambda_1 t} $ si ottiene:
$(\text{d}^2N_2)/(\text{d}t^2) + \lambda_2 (\text{d}N_2)/(\text{d}t) + \lambda_1^2 N_0 e^{- \lambda_1 t} = 0 $
Dall'equazione differenziale ordinaria del primo ordine che
"pilloeffe":
$(\text{d}N_2)/(\text{d}t) + \lambda_2 N_2 = \lambda_1 N_0 e^{- \lambda_1 t}$
non è difficile determinare la condizione iniziale sulla derivata di $N_2 $:
$((\text{d}N_2)/(\text{d}t))_{t = 0} + \lambda_2 N_2(0) = \lambda_1 N_0 \implies ((\text{d}N_2)/(\text{d}t))_{t = 0} = \lambda_1 N_0 $
A questo punto,
"itisscience":
provando con una soluzione della forma $ N_2(t)=Ae^{-\lambda_1 t) + Be^{-\lambda_2 t) $
dalla condizione iniziale $N_2(0) = 0 $ si ottiene subito $A + B = N_2(0) = 0 $, mentre derivando la soluzione con la quale si sta provando si ha:
$(\text{d}N_2)/(\text{d}t) = - A\lambda_1 e^{-\lambda_1 t) - B \lambda_2 e^{-\lambda_2 t) $
Quindi dalla condizione iniziale $ ((\text{d}N_2)/(\text{d}t))_{t = 0} = \lambda_1 N_0 $ si ottiene:
$ \lambda_1 N_0 = ((\text{d}N_2)/(\text{d}t))_{t = 0} = - A\lambda_1 - B \lambda_2 $
Pertanto in definitiva si ottiene il sistema seguente:
${(A + B = 0), (- A\lambda_1 - B \lambda_2 = \lambda_1 N_0):} $
Risolvendo quest'ultimo, come nel post precedente
"pilloeffe":
$ A = - B = N_0 (\lambda_1)/(\lambda_2 - \lambda_1) $
chiarissimo, grazie mille
"itisscience":
grazie mille
Prego!
Mi premeva però accertarmi di una cosa: hai capito perché le soluzioni dell'equazione differenziale del secondo ordine non sono quelle che hai scritto, vero? Hai usato il metodo dell'equazione caratteristica, che però funziona per equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti, non dipendenti da $t$, mentre nel tuo caso $a = 1$, $b = \lambda_2 $, ma $c = \lambda_1^2 N_0 e^{- \lambda_1 t} $...
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