Integrale

[andreat86]

Qualcuno mi può spiegare come svolgere questo integrale?
Il risultato è $(2816)/(15)$

Si calcoli l'integrale
$int_(C)zx^2(1-y^2)dx dy dz$
ove
$ C={(x,y,z)in mathbb(R)^3: 0<=x <=4, -1 <=y <=1, 0 <=z <= 4-| y| } $

[dissonance]

Certamente, ma inizia a spiegare quali idee hai tu, per favore.

[andreat86]

pensavo di svolgerlo in questo modo, ma sinceramente mi blocco subito...
$ int_(C)zx^2(1-y^2)dx dy dz $
$= int_(0)^(4-|x|) dx int_(-1)^(1) dy int_(0)^(4) (zx^2(1-y^2) dz $
$= int_(0)^(4-|x|) dx int_(-1)^(1) dy ((zx^3)/(3)....$

[pilloeffe]

Ciao andrea14,

Scusa, ma se è corretto $ C = {(x,y,z) \in \RR^3 : 0 <=x <= 4, -1 <= y <= 1, 0 <= z <= 4-|y|} $ considera la definizione di $|y| $ e che $ -1 <= y <= 1 $, per cui si ha:

$|y| = {(y \text{ per } 0 <= y <= 1),(- y \text{ per } -1 <= y < 0):} $

Dunque si ha:

$\int\int\int_C zx^2(1-y^2)\text{d}x \text{d}y \text{d}z = \int_0^4 x^2 \text{d}x\int_{-1}^1 (1 - y^2) \text{d}y \int_{0}^{4 - |y|} z \text{d}z = ... $

[andreat86]

Scusami ho sbagliato a scrivere la seconda volta, è giusto come hai scritto te.
Provo a continuare quello che mi hai scritto.
Per quale motivo nel $dy$ mettiamo $(1-y^2)$ e non soltanto $-y^2$?

[pilloeffe]

Sono calcoli molto noiosi, ma proseguendo da quanto ti ho scritto mi torna il risultato $2816/15 $ che hai citato nell'OP.