Integrale
Ciao,sto cercando di risolvere il seguente integrale indefinito $\int sqrt(1-x^2)dx$.Decido di integrare per parti e pongo$f(x)=sqrt(1-x^2)->f'(x)=-((x)/sqrt(1-x^2));g'(x)=1->g(x)=x$.Sono arrivato a $\intsqrt(1-x^2)dx=x*sqrt(1-x^2)-(\int -((x^2)/sqrt(1-x^2))dx$.Come devo risolvere l'altro integrale?Parti o sostituzione?Ho provato con quest'ultimo ma non sono riuscito.Grazie.
Risposte
Per sostituzione.
Guardando l'integrando non ti viene in mente nessuna relazione fondamentale?
Guardando l'integrando non ti viene in mente nessuna relazione fondamentale?
Per parti si potrebbe fare così.
Posto
$I=\int sqrt(1-x^2)dx$
$I=xsqrt(1-x^2)-\int \frac{-x^2}{sqrt(1-x^2)}dx = xsqrt(1-x^2) -\int frac{1-x^2-1}{sqrt(1-x^2)}dx = xsqrt(1-x^2)+\int \frac{dx}{sqrt(1-x^2)}-\int sqrt(1-x^2)dx=xsqrt(1-x^2)+arcsin(x)-I$
Da cui
$I=\frac{1}{2}*(xsqrt(1-x^2)+arcsin(x))+c$
Posto
$I=\int sqrt(1-x^2)dx$
$I=xsqrt(1-x^2)-\int \frac{-x^2}{sqrt(1-x^2)}dx = xsqrt(1-x^2) -\int frac{1-x^2-1}{sqrt(1-x^2)}dx = xsqrt(1-x^2)+\int \frac{dx}{sqrt(1-x^2)}-\int sqrt(1-x^2)dx=xsqrt(1-x^2)+arcsin(x)-I$
Da cui
$I=\frac{1}{2}*(xsqrt(1-x^2)+arcsin(x))+c$
Ciao JackPirri,
Potresti però anche continuare con la tua idea di risolverlo per parti; anzi, più in generale mi risolverei l'integrale indefinito seguente:
$\int \sqrt{a^2 - x^2} dx $
Quest'ultimo integrale naturalmente coincide con quello proposto per $a = 1 $. Supponendo $a > 0 $ e portandolo fuori dalla radice quadrata si ha:
$\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = a \int \sqrt{1 - (x/a)^2} dx $
Posto $t := x/a \implies dx = a dt $ e quindi si ha:
$\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = a \int \sqrt{1 - (x/a)^2} dx = a^2 \int \sqrt{1 - t^2} dt $
L'ultimo integrale scritto è sempre quello proposto, con $t $ al posto di $x$. Integrando per parti si ha:
$ \int \sqrt{1 - t^2} dt = t sqrt{1 - t^2} - \int \frac{- t^2}{sqrt{1 - t^2}} dt = t sqrt{1 - t^2} - \int \frac{1 - t^2 - 1}{sqrt{1 - t^2}} dt = $
$ = t sqrt{1 - t^2} - \int \frac{1 - t^2}{sqrt{1 - t^2}} dt + \int \frac{1}{sqrt{1 - t^2}} dt = t sqrt{1 - t^2} - \int \sqrt{1 - t^2} dt + \int \frac{1}{sqrt{1 - t^2}} dt $
Il primo integrale è uguale a quello di partenza, quindi possiamo portarlo al primo membro, il secondo è immediato per cui si ha:
$ 2 \int \sqrt{1 - t^2} dt = t sqrt{1 - t^2} + arcsin t + c \implies \int \sqrt{1 - t^2} dt = t/2 sqrt{1 - t^2} + 1/2 arcsin t + c $
In definitiva, ricordando che $t = x/a $, si ha:
\begin{equation*}
\boxed{\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = a^2 \bigg[\frac{x}{2a} \cdot \sqrt{1 - (x/a)^2} + \frac{1}{2} \arcsin(x/a)\bigg] + c = \frac{1}{2}\bigg[x \sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \arcsin\bigg(\frac{x}{a}\bigg)\bigg] + c}
\end{equation*}
Nel caso particolare $a = 1 $ si ha:
\begin{equation*}
\boxed{\int \sqrt{1 - x^2} dx = \frac{1}{2}[x \sqrt{1 - x^2} + \arcsin(x)] + c}
\end{equation*}
Potresti però anche continuare con la tua idea di risolverlo per parti; anzi, più in generale mi risolverei l'integrale indefinito seguente:
$\int \sqrt{a^2 - x^2} dx $
Quest'ultimo integrale naturalmente coincide con quello proposto per $a = 1 $. Supponendo $a > 0 $ e portandolo fuori dalla radice quadrata si ha:
$\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = a \int \sqrt{1 - (x/a)^2} dx $
Posto $t := x/a \implies dx = a dt $ e quindi si ha:
$\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = a \int \sqrt{1 - (x/a)^2} dx = a^2 \int \sqrt{1 - t^2} dt $
L'ultimo integrale scritto è sempre quello proposto, con $t $ al posto di $x$. Integrando per parti si ha:
$ \int \sqrt{1 - t^2} dt = t sqrt{1 - t^2} - \int \frac{- t^2}{sqrt{1 - t^2}} dt = t sqrt{1 - t^2} - \int \frac{1 - t^2 - 1}{sqrt{1 - t^2}} dt = $
$ = t sqrt{1 - t^2} - \int \frac{1 - t^2}{sqrt{1 - t^2}} dt + \int \frac{1}{sqrt{1 - t^2}} dt = t sqrt{1 - t^2} - \int \sqrt{1 - t^2} dt + \int \frac{1}{sqrt{1 - t^2}} dt $
Il primo integrale è uguale a quello di partenza, quindi possiamo portarlo al primo membro, il secondo è immediato per cui si ha:
$ 2 \int \sqrt{1 - t^2} dt = t sqrt{1 - t^2} + arcsin t + c \implies \int \sqrt{1 - t^2} dt = t/2 sqrt{1 - t^2} + 1/2 arcsin t + c $
In definitiva, ricordando che $t = x/a $, si ha:
\begin{equation*}
\boxed{\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = a^2 \bigg[\frac{x}{2a} \cdot \sqrt{1 - (x/a)^2} + \frac{1}{2} \arcsin(x/a)\bigg] + c = \frac{1}{2}\bigg[x \sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \arcsin\bigg(\frac{x}{a}\bigg)\bigg] + c}
\end{equation*}
Nel caso particolare $a = 1 $ si ha:
\begin{equation*}
\boxed{\int \sqrt{1 - x^2} dx = \frac{1}{2}[x \sqrt{1 - x^2} + \arcsin(x)] + c}
\end{equation*}
Grazie a tutti.Ringrazio pilloeffe per la spiegazione.
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