Integrale

[cri981]

mi date una mano a trovare il risultato di questo integrale

$ int_(0)^(1/2) x/(1-x^2) dx $

[anto_zoolander]

$int_(0)^(1/2)x/(1-x^2)dx=ln(2/sqrt3)$

è veramente facile da calcolare.

[cri981]

ciao anto_zoolander grazie per la risposta.
io l'ho risolto è mi torna $ -1/2ln (3/2)+1/2ln(3/2) $

sono sulla strada giusta?

le soluzioni che mi vengono proposte sono:
1) $ ln2+ln3 $
2 )$ ln3-1/2ln2 $
3) $ ln3+ln2 $
4) $ ln2-1/2ln3 $
5) nessuna delle precedenti

[pilloeffe]

Ciao cri98,

La 4)...

[anto_zoolander]

in poche parole ti torna zero e non è la strada giusta.

$ln(2/sqrt(3))=ln(2)-1/2ln(3)$

come hai svolto l'integrale?

[cri981]

$ int_(0)^(1/2) x/(1-x^2) dx $

il denominatore lo scrivo come
$ 1-x^2=(1+x)(1-x) $


$ x/((1+x)(1-x))= A/(1+x)+B/(1-x)= (A(1-x)+B(1+x))/((1+x)(1-x))=(A-AX+B+BX)/((1+X)(1-X))= (X(-A+B)+A+B)/((1+X)(1-X) $

risolvo il sistema:
$ { ( -A+B=1 ),( A+B=0 ):} $

ottengo:
$ { ( A=1/2 ),( B=3/2 ):} $

riscrivo l'integrale come:
$ 1/2 int_(0)^(1/2) 1/(1+x) dx +3/2int_(0)^(1/2) 1/(1-x) dx $

$ 1/2[(ln| 1+x | ]_(0)^(1/2)+3/2[(ln| 1-x | ]_(0)^(1/2) $

infine ottengo:
$ 1/2(ln(3/2)-ln1)+3/2(ln(3/2)-ln1) $

[anto_zoolander]

nel Sistema si ottiene $A=-1/2$ e $B=1/2$

Ma poi perché tutto questo macello?

$intx/(1-x^2)dx=-1/2int(-2x)/(1-x^2)dx=-1/2log|1-x^2|$

Se proprio non lo vedi poni $y=1-x^2$ e $dy=-2xdx$

[cri981]

ok ci sono grazie mille non avevo notato il fatto che il numeratore era uasi la derivata del denominatore

[pilloeffe]

"anto_zoolander":Ma poi perché tutto questo macello?

Ma infatti...
cri98, in questo tipo di quesiti a risposta multipla dovresti metterti nell'ordine di idee che in genere la risposta sia piuttosto semplice, non può essere così complicata come hai pensato... Infatti nel caso in esame il tutto si risolve in una riga:

$ int_{0}^{1/2} x/(1-x^2)dx = [-1/2 ln|1-x^2|]_0^{1/2} = - 1/2 ln(3/4) = ln(2/sqrt{3}) = ln 2 - 1/2 ln 3 $

[cri981]

giusto! sono d'accordo con te

grazie