Integrale

[AnalisiZero]

Ciao,
Questo integrale deve essere risolto per decomposizione in somma:

$int(dx/(1+e^(2x)))$
Vorrei solo un suggerimento per trasformarlo in somma, la risoluzione completa non mi interessa.

Grazie.

[Plepp]

Devi prima cambiare variabile: $t=e^x$, $"d"x={"d"t}/t$. L'integranda diventa
\[\dfrac{1}{t(1+t^2)}\]
Per trasformarla in una somma di "fratti semplici" imponi quindi che
\[\dfrac{1}{t(1+t^2)}=\dfrac{A}{t}+\dfrac{Bt+C}{1+t^2}\]
I coefficienti $A,B,C$ li ricavi usando il principio d'identità dei polinomi: da
\[1=A(1+t^2)+(Bt+C)t=A+Ct+(A+B)t^2\]
deduci
\[A=1,\quad C=0,\quad A+B=0\]
e infine $A=1,B=-1,C=0$.

[AnalisiZero]

"Plepp":Devi prima cambiare variabile: $t=e^x$, $"d"x={"d"t}/t$. L'integranda diventa
\[\dfrac{1}{t(1+t^2)}\]
Per trasformarla in una somma di "fratti semplici" imponi quindi che
\[\dfrac{1}{t(1+t^2)}=\dfrac{A}{t}+\dfrac{Bt+C}{1+t^2}\]
I coefficienti $A,B,C$ li ricavi usando il principio d'identità dei polinomi: da
\[1=A(1+t^2)+(Bt+C)t=A+Ct+(A+B)t^2\]
deduci
\[A=1,\quad C=0,\quad A+B=0\]
e infine $A=1,B=-1,C=0$.

Non per forza va scomposto in fratti semplici, basta che sia trasformato in una somma di termini i cui integrali sono immediati. Non si riesce senza farlo per sostituzione?

[anto_zoolander]

$int1/(1+e^(2x))dx=int(1-1/2*(2e^(2x))/(1+e^(2x)))dx=x-1/2int(2e^(2x))/(1+e^(2x))dx=x-1/2log(1+e^(2x))+c$

[AnalisiZero]

"anto_zoolander":$int1/(1+e^(2x))dx=int(1-1/2*(2e^(2x))/(1+e^(2x)))dx=x-1/2int(2e^(2x))/(1+e^(2x))dx=x-1/2log(1+e^(2x))+c$

Grazie.