Integrale
Ragazzi, penso sia un integrale abbastanza semplice, ma non riesco a cavarne piede:
$\int(sqrt(1+1/x)$
è da fare con sostituzione, io ho imposto $sqrt(1+1/x)=t$ e quindi che $t^2=1+1/x$, dopo di che mi sono ricavato x in funzione di t: $x=1/(t^2-1)$ da cui $dx=-2t/(t^2-1)$
quindi l'integrale dovrebbe diventare:
$\int(-2t^2/(t^2-1)^2)dt$
Come procedo ora?
$\int(sqrt(1+1/x)$
è da fare con sostituzione, io ho imposto $sqrt(1+1/x)=t$ e quindi che $t^2=1+1/x$, dopo di che mi sono ricavato x in funzione di t: $x=1/(t^2-1)$ da cui $dx=-2t/(t^2-1)$
quindi l'integrale dovrebbe diventare:
$\int(-2t^2/(t^2-1)^2)dt$
Come procedo ora?
Risposte
"atomr902":
Ragazzi, penso sia un integrale abbastanza semplice, ma non riesco a cavarne piede:
$\int(sqrt(1+1/x)$
è da fare con sostituzione, io ho imposto $sqrt(1+1/x)=t$ e quindi che $t^2=1+1/x$, dopo di che mi sono ricavato x in funzione di t: $x=1/(t^2-1)$ da cui $dx=-2t/(t^2-1)$
quindi l'integrale dovrebbe diventare:
$\int(-2t/(t^2-1))dt$
Come procedo ora?
Prova a risolverlo scomponendolo in fratti semplici...
Cavolo! Non ci avevo proprio pensato! Grazie mille!
\(\displaystyle \)Ho provato a scomporlo in questo modo:
$A/(t+1)+B/(t+1)+C/(t-1)+D/(t-1)$
tuttavia nel momento in cui faccio il sistema per determinare i coefficienti viene fuori questo:
(perdonatemi non so come mettere il simbolo del sistema...)
$A+B+C+D=1$
$-A-B+C+D=0$
$A+B+C+D=0$
La prima e l'ultima somma hanno gli stessi termini ma danno risultati diversi, credo ci sia qualche errore...
$A/(t+1)+B/(t+1)+C/(t-1)+D/(t-1)$
tuttavia nel momento in cui faccio il sistema per determinare i coefficienti viene fuori questo:
(perdonatemi non so come mettere il simbolo del sistema...)
$A+B+C+D=1$
$-A-B+C+D=0$
$A+B+C+D=0$
La prima e l'ultima somma hanno gli stessi termini ma danno risultati diversi, credo ci sia qualche errore...
Ciao atomr902,
Sì, è così...
$int sqrt{1 + 1/x} dx = int sqrt{frac{x + 1}{x}} dx $
Posto $t := sqrt{x} \implies dt = frac{dx}{2 sqrt{x}} \implies dx = 2t dt $ si ha:
$int sqrt{1 + 1/x} dx = int sqrt{frac{x + 1}{x}} dx = int sqrt{frac{t^2 + 1}{t^2}} 2t dt = 2 int sqrt{t^2 + 1} dt $
Quest'ultimo integrale è una vecchia conoscenza: dai un'occhiata ad esempio qui. Si ha:
$ 2 int sqrt{t^2 + 1} dt = t \sqrt{t^2 + 1} + \ln (\sqrt{t^2 + 1} + t) + c $
Ricordando che $t := sqrt{x} $, in definitiva si ha:
$int sqrt{1 + 1/x} dx = sqrt{x(x + 1)} + \ln(\sqrt{x + 1} + sqrt{x}) + c $
"atomr902":
credo ci sia qualche errore...
Sì, è così...
$int sqrt{1 + 1/x} dx = int sqrt{frac{x + 1}{x}} dx $
Posto $t := sqrt{x} \implies dt = frac{dx}{2 sqrt{x}} \implies dx = 2t dt $ si ha:
$int sqrt{1 + 1/x} dx = int sqrt{frac{x + 1}{x}} dx = int sqrt{frac{t^2 + 1}{t^2}} 2t dt = 2 int sqrt{t^2 + 1} dt $
Quest'ultimo integrale è una vecchia conoscenza: dai un'occhiata ad esempio qui. Si ha:
$ 2 int sqrt{t^2 + 1} dt = t \sqrt{t^2 + 1} + \ln (\sqrt{t^2 + 1} + t) + c $
Ricordando che $t := sqrt{x} $, in definitiva si ha:
$int sqrt{1 + 1/x} dx = sqrt{x(x + 1)} + \ln(\sqrt{x + 1} + sqrt{x}) + c $
Non ho ben capito cos'hai fatto nel link che mi hai mandato, ma grazie lo stesso 
, ho provato a farlo per parti ma è lungo in ogni caso, l'unica sostituzione che si può fare è quella che hai utilizzato tu oppure c'è qualche scorciatoia?
(Sbaglio o questo è un integrale difficile?)
, ho provato a farlo per parti ma è lungo in ogni caso, l'unica sostituzione che si può fare è quella che hai utilizzato tu oppure c'è qualche scorciatoia? (Sbaglio o questo è un integrale difficile?)
Sbagli la scomposizione in fratti semplici, hai duplicato tutto ...
$t/(t^2-1)=1/(2(t+1))+1/(2(t-1))$
No, scusatemi ho scritto male per colpa della fretta, l'integrale in realtà dopo la sostituzione diventa:
$\int-2t^2/(t^2-1)^2$
$\int-2t^2/(t^2-1)^2$
Nel thread di cui ti ho inviato il link è risolto, in diversi modi (leggiti tutto il thread, non solo l'inizio... 
), l'integrale seguente:
$int \sqrt{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2}[x \sqrt{x^2 + 1} + \ln (\sqrt{x^2 + 1} + x)] + c $
che è quello che ti serve.
Diciamo che ne ho visti di più semplici...
Ma anche di più difficili (ad esempio qui)
), l'integrale seguente:$int \sqrt{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2}[x \sqrt{x^2 + 1} + \ln (\sqrt{x^2 + 1} + x)] + c $
che è quello che ti serve.
"atomr902":
Sbaglio o questo è un integrale difficile?
Diciamo che ne ho visti di più semplici...
Ma anche di più difficili (ad esempio qui)
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