Integrale
Potreste aiutarmi con la risoluzione di quest'integrale, per favore?
$ int_(3)^(5)(sqrt(x-1))/(sqrt(x-1)-x+3) dx $
$ int_(3)^(5)(sqrt(x-1))/(sqrt(x-1)-x+3) dx $
Risposte
io proverei a sostituire $t=\sqrt(x -1) \Rightarrow x=t^2 +1 $
Ok, ma come è possibile che si passi a questa risoluzione?
$ int_(sqrt(2))^(2) (2t^2)/(t^2+t-2) dt $
Intendo, come è possibile che si cambino gli estremi di integrazione e che al numeratore ci sia 2t^2?
$ int_(sqrt(2))^(2) (2t^2)/(t^2+t-2) dt $
Intendo, come è possibile che si cambino gli estremi di integrazione e che al numeratore ci sia 2t^2?
Ciao floyd123,
Non posso credere che dopo 20 messaggi qui sul forum tu non riesca a scrivere una sciocchezza come
$int_{3}^5 frac{sqrt{x - 1}}{sqrt{x - 1} + x - 3} dx $
Dai, modifica il tuo OP copiando ciò che appare nel box CODICE e cancellando quella brutta immagine (per di più storta...), poi prometto che ti rispondo...
Non posso credere che dopo 20 messaggi qui sul forum tu non riesca a scrivere una sciocchezza come
$int_{3}^5 frac{sqrt{x - 1}}{sqrt{x - 1} + x - 3} dx $
$int_{3}^5 frac{sqrt{x - 1}}{sqrt{x - 1} + x - 3} dx $Dai, modifica il tuo OP copiando ciò che appare nel box CODICE e cancellando quella brutta immagine (per di più storta...), poi prometto che ti rispondo...
Il $2t^2 dt$ tiene conto del differenziale..in base alla sostituzione consigliata hai che $dx=2t dt$
"pilloeffe":
Ciao floyd123,
Non posso credere che dopo 20 messaggi qui sul forum tu non riesca a scrivere una sciocchezza come
$int_{3}^5 frac{sqrt{x - 1}}{sqrt{x - 1} + x - 3} dx $
$int_{3}^5 frac{sqrt{x - 1}}{sqrt{x - 1} + x - 3} dx $
Dai, modifica il tuo OP copiando ciò che appare nel box CODICE e cancellando quella brutta immagine (per di più storta...), poi prometto che ti rispondo...
Hai ragione, perdonami, correggo subito!
"mic999":
Il $2t^2 dt$ tiene conto del differenziale..in base alla sostituzione consigliata hai che $dx=2t dt$
Giusto, grazie, per quanto riguarda gli estremi di integrazione invece? Perché cambiano?
Cambiano perchè passi da un integrazione in $x$ ad un integrazione in $t$..
Siccome la sostituzione è $sqrt(x-1)=t$ allora sostituisci i valori degli estremi in x e ti trovi quali trovi sono gli estremi di integrazione in $t$
per esempio se $x=5$ allora $sqrt(5-1)=t$
Siccome la sostituzione è $sqrt(x-1)=t$ allora sostituisci i valori degli estremi in x e ti trovi quali trovi sono gli estremi di integrazione in $t$
per esempio se $x=5$ allora $sqrt(5-1)=t$
"mic999":
Cambiano perchè passi da un integrazione in $x$ ad un integrazione in $t$..
Siccome la sostituzione è $sqrt(x-1)=t$ allora sostituisci i valori degli estremi in x e ti trovi quali trovi sono gli estremi di integrazione in $t$
per esempio se $x=5$ allora $sqrt(5-1)=t$
Ho capito, grazie mille!
Ciao floyd,
Bravo... Visto che non era poi così difficile? E per di più è senz'altro più chiaro...
Mantengo fede alla mia promessa di risponderti, anche se ormai mic999 e mide ti hanno già detto tutto, facendoti notare che in questi casi quando è possibile conviene prima risolvere l'integrale indefinito e poi quello definito: altrimenti se poi per caso cambiano gli estremi di integrazione ti tocca di rifare l'integrale da capo...
Accogliendo l'ottimo suggerimento che ti ha già dato mide, si ha:
$ int frac{sqrt{x - 1}}{sqrt{x - 1} + x - 3} dx = 2 int (t^2)/(t^2+t-2) dt = 2 int (t^2 + t - 2 - t + 2)/(t^2+t-2) dt = 2 int dt - int frac{2t - 4}{t^2+t-2} dt = $
$ = 2t - int (2t - 4)/(t^2+t-2) dt = 2t - int (2t + 1 - 5)/(t^2+t-2) dt = 2t - int (2t + 1)/(t^2+t-2) dt + 5 int (dt)/(t^2+t-2) = $
$ = 2t - ln|t^2 + t - 2| + 5 int frac{dt}{(t + 1/2)^2 - 9/4} = 2t - ln|t^2 + t - 2| + 5 int frac{dt}{(t + 1/2)^2 - (3/2)^2} = $
$ = 2t - ln|t^2 + t - 2| + 5 int frac{du}{u^2 - (3/2)^2} = 2t - ln|t^2 + t - 2| + frac{5}{3} [int frac{du}{u - 3/2} - int frac{du}{u + 3/2}] = $
$ = 2t - ln|t^2 + t - 2| + frac{5}{3} [ln|u - 3/2| - ln|u + 3/2|] + c = $
$ = 2t - ln|t^2 + t - 2| + frac{5}{3} [ln|t + 1/2 - 3/2| - ln|t + 1/2 + 3/2|] + c = $
$ = 2t - ln|t^2 + t - 2| + frac{5}{3} [ln|t - 1|- ln|t + 2|] + c = $
$ = 2t - ln|t + 2|- ln|t - 1| + frac{5}{3} ln|t - 1|- frac{5}{3} ln|t + 2| + c = $
$ = 2t + frac{2}{3} ln|t - 1| - frac{8}{3} ln|t + 2| + c = $
$ = 2sqrt{x - 1} + frac{2}{3} ln|sqrt{x - 1} - 1| - frac{8}{3} ln(sqrt{x - 1} + 2) + c = $
$ = frac{2}{3}[3 sqrt{x - 1} + ln|sqrt{x - 1} - 1| - 4 ln(sqrt{x - 1} + 2)] + c $
Una volta noto il risultato dell'integrale indefinito puoi calcolare tutti gli integrali definiti che vuoi, in particolare quello in esame:
$ int_{3}^5 frac{sqrt{x - 1}}{sqrt{x - 1} + x - 3} dx = frac{2}{3}[3 sqrt{x - 1} + ln|sqrt{x - 1} - 1| - 4 ln(sqrt{x - 1} + 2)]_3^5 = $
$ = frac{2}{3}[6 - 4 ln4 - 3 sqrt{2} - ln(sqrt{2} - 1) + 4 ln(sqrt{2} + 2)] = $
$ = frac{2}{3}[6 - 3 sqrt{2} + 4 ln(sqrt{2} + 2) - ln(sqrt{2} - 1) - 4 ln4] = $
$ = 4 - 2sqrt{2} + frac{2}{3}[4 ln frac{(sqrt{2} + 2)}{4} - ln(sqrt{2} - 1)] = $
$ = 4 - 2sqrt{2} + frac{2}{3}[ ln frac{(sqrt{2} + 2)^4}{4^4} - ln(sqrt{2} - 1)] = $
$ = 4 - 2sqrt{2} + frac{2}{3}[ ln frac{4(17 + 12 sqrt{2})}{4^4} - ln(sqrt{2} - 1)] = $
$ = 4 - 2sqrt{2} + frac{2}{3}[ ln frac{(17 + 12 sqrt{2})}{4^3} - ln(sqrt{2} - 1)] = $
$ = 4 - 2sqrt{2} + frac{2}{3}[ ln frac{(17 + 12 sqrt{2})}{4^3(sqrt{2} - 1)}] = $
$ = 4 - 2sqrt{2} + frac{2}{3}[ ln frac{(41 + 29 sqrt{2})}{4^3}] = $
$ = 4 - 2sqrt{2} + frac{2}{3}[ ln(41 + 29 sqrt{2}) - ln64] = $
$ ~= 1,336896 $
"floyd123":
Hai ragione, perdonami, correggo subito!
Bravo... Visto che non era poi così difficile? E per di più è senz'altro più chiaro...
Mantengo fede alla mia promessa di risponderti, anche se ormai mic999 e mide ti hanno già detto tutto, facendoti notare che in questi casi quando è possibile conviene prima risolvere l'integrale indefinito e poi quello definito: altrimenti se poi per caso cambiano gli estremi di integrazione ti tocca di rifare l'integrale da capo...
Accogliendo l'ottimo suggerimento che ti ha già dato mide, si ha:
$ int frac{sqrt{x - 1}}{sqrt{x - 1} + x - 3} dx = 2 int (t^2)/(t^2+t-2) dt = 2 int (t^2 + t - 2 - t + 2)/(t^2+t-2) dt = 2 int dt - int frac{2t - 4}{t^2+t-2} dt = $
$ = 2t - int (2t - 4)/(t^2+t-2) dt = 2t - int (2t + 1 - 5)/(t^2+t-2) dt = 2t - int (2t + 1)/(t^2+t-2) dt + 5 int (dt)/(t^2+t-2) = $
$ = 2t - ln|t^2 + t - 2| + 5 int frac{dt}{(t + 1/2)^2 - 9/4} = 2t - ln|t^2 + t - 2| + 5 int frac{dt}{(t + 1/2)^2 - (3/2)^2} = $
$ = 2t - ln|t^2 + t - 2| + 5 int frac{du}{u^2 - (3/2)^2} = 2t - ln|t^2 + t - 2| + frac{5}{3} [int frac{du}{u - 3/2} - int frac{du}{u + 3/2}] = $
$ = 2t - ln|t^2 + t - 2| + frac{5}{3} [ln|u - 3/2| - ln|u + 3/2|] + c = $
$ = 2t - ln|t^2 + t - 2| + frac{5}{3} [ln|t + 1/2 - 3/2| - ln|t + 1/2 + 3/2|] + c = $
$ = 2t - ln|t^2 + t - 2| + frac{5}{3} [ln|t - 1|- ln|t + 2|] + c = $
$ = 2t - ln|t + 2|- ln|t - 1| + frac{5}{3} ln|t - 1|- frac{5}{3} ln|t + 2| + c = $
$ = 2t + frac{2}{3} ln|t - 1| - frac{8}{3} ln|t + 2| + c = $
$ = 2sqrt{x - 1} + frac{2}{3} ln|sqrt{x - 1} - 1| - frac{8}{3} ln(sqrt{x - 1} + 2) + c = $
$ = frac{2}{3}[3 sqrt{x - 1} + ln|sqrt{x - 1} - 1| - 4 ln(sqrt{x - 1} + 2)] + c $
Una volta noto il risultato dell'integrale indefinito puoi calcolare tutti gli integrali definiti che vuoi, in particolare quello in esame:
$ int_{3}^5 frac{sqrt{x - 1}}{sqrt{x - 1} + x - 3} dx = frac{2}{3}[3 sqrt{x - 1} + ln|sqrt{x - 1} - 1| - 4 ln(sqrt{x - 1} + 2)]_3^5 = $
$ = frac{2}{3}[6 - 4 ln4 - 3 sqrt{2} - ln(sqrt{2} - 1) + 4 ln(sqrt{2} + 2)] = $
$ = frac{2}{3}[6 - 3 sqrt{2} + 4 ln(sqrt{2} + 2) - ln(sqrt{2} - 1) - 4 ln4] = $
$ = 4 - 2sqrt{2} + frac{2}{3}[4 ln frac{(sqrt{2} + 2)}{4} - ln(sqrt{2} - 1)] = $
$ = 4 - 2sqrt{2} + frac{2}{3}[ ln frac{(sqrt{2} + 2)^4}{4^4} - ln(sqrt{2} - 1)] = $
$ = 4 - 2sqrt{2} + frac{2}{3}[ ln frac{4(17 + 12 sqrt{2})}{4^4} - ln(sqrt{2} - 1)] = $
$ = 4 - 2sqrt{2} + frac{2}{3}[ ln frac{(17 + 12 sqrt{2})}{4^3} - ln(sqrt{2} - 1)] = $
$ = 4 - 2sqrt{2} + frac{2}{3}[ ln frac{(17 + 12 sqrt{2})}{4^3(sqrt{2} - 1)}] = $
$ = 4 - 2sqrt{2} + frac{2}{3}[ ln frac{(41 + 29 sqrt{2})}{4^3}] = $
$ = 4 - 2sqrt{2} + frac{2}{3}[ ln(41 + 29 sqrt{2}) - ln64] = $
$ ~= 1,336896 $
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