Integrale

[Salivo44]

Ciao, per caso qualcuno sa come si risolve questo integrale?

$int_(pi)^(3pi/2)3sqrt(cos^4x + sen^4x)$

[Antimius]

L'unica idea che mi viene è usare il fatto che $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$ e poi effettuare una sostituzione del tipo $t= \sin x$, ma probabilmente verrà un integrale ellittico o, comunque, qualcosa di non esprimibile tramite funzioni elementari.
Dove hai trovato questa richiesta?

[Salivo44]

In realtà questo integrale deriva dalla risoluzione di un esercizio che dice :

Determinare la lunghezza del quarto di asteroide, di equazioni parametriche: $x = cos^3 t \ e\ y = sin^3 t \,\ t ∈ [π, 3π/ 2 ]$
Ho applicato semplicemente la formula : $int_(a)^(b) sqrt( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 )$
Dove $ x'(t) = 3cos^2t \ e \ y = -3sen^2t$ , dunque $ int_(pi)^(3pi/2) sqrt ( 9 sen^4t + 9cos^4t)$

[Antimius]

Ti sei perso dei pezzi nella derivata:
$$x'(t)=-3 \cos^2 t \sin t$$
e
$$y'(t) = 3 \sin^2 t \cos t$$

[Salivo44]

"Antimius":Ti sei perso dei pezzi nella derivata:
$$x'(t)=-3 \cos^2 t \sin t$$
e
$$y'(t) = 3 \sin^2 t \cos t$$

Hai ragione.. mea culpa

Dunque ti trovi che sarebbe $ int_(pi)^(3pi/2) sqrt(cos^2t \ sen^2t(cos^2+sen^2t)) = int_(pi)^(3pi/2) sqrt(costsent)^2 = int_(pi)^(3pi/2) cost\ sent$ etc..?

[Antimius]

Esattamente