Integrale...
Salve, stavo risolvendo l'integrale di sen^4x dx per parti ma riscontro dei problemi nell'applicare le formule di duplicazione. Mi spiego: alla fine dopo aver fatto l'integrazione ricavo che -cosxsen^3x-(3cosxsenx-3x)/2
Nella seconda parte tutto ok nella prima dovrebbe venire tipo un sen4x da dove esce?Ho sbagliato qualcosa nell'integrazione oppure non riesco ad applicare ste formule di duplicazione?
Scusate la stupidita' della domanda.
Grazie.
Nella seconda parte tutto ok nella prima dovrebbe venire tipo un sen4x da dove esce?Ho sbagliato qualcosa nell'integrazione oppure non riesco ad applicare ste formule di duplicazione?
Scusate la stupidita' della domanda.
Grazie.
Risposte
in realtà esistono preparate le formule di ricorrenza del seno e del coseno, che si ottengono appunto integrando per parti! o sei proprio interessato a quella dimostrazione?
si, ecco stavo integrando per parti questa funzione per capire, pero' mi blocco nei passaggi finali, perchè il risultato viene dato tutto in seno, quindi non so se si dovrebbe applicare la formula di duplicazione (che magari sbaglio ad applicare) oppure compio proprio un errore nell'integrazione... 
Alla fine ottengo: -(cosxsen^3x)/4-(3cosxsenx)/8+3x/8
Alla fine ottengo: -(cosxsen^3x)/4-(3cosxsenx)/8+3x/8
"cooper":
ti consiglio allora questo link.
si guarda io stavo seguendo questo procedimento: http://www.****.it/domande-a-rispost ... ubbio.html nei passaggi finali come va trasformato quel -cosxsen^3x?? Questo no capivo, per il resto tutto ok...
$ int sinxsin^3x dx=-cosxsin^3x+int3sin^2x dx-int3sin^4xdx $
intendi nell'ultima formula ciò che ho segnato in grassetto?
se sì, la risposta è che non lo trasformi in niente, resta così. fa parte della soluzione!
intendi nell'ultima formula ciò che ho segnato in grassetto?
se sì, la risposta è che non lo trasformi in niente, resta così. fa parte della soluzione!
"cooper":
$ int sinxsin^3x dx=-cosxsin^3x+int3sin^2x dx-int3sin^4xdx $
intendi nell'ultima formula ciò che ho segnato in grassetto?
se sì, la risposta è che non lo trasformi in niente, resta così. fa parte della soluzione!
si, esatto. Ah no perchè il libro mi dava come risultato 3x/8-(sen2x/4)+(sen4x/32) e non capivo come ci si arrivasse..
sinceramente non la riesco a trovare nemmeno io, ma comunque sia mi sembra lavoro sprecato! che male c'è ad avere i coseni? 
"cooper":
sinceramente non la riesco a trovare nemmeno io, ma comunque sia mi sembra lavoro sprecato! che male c'è ad avere i coseni?
ma infatti ahaha forse al libro non piacciono
comunque va bene,l'importante è che non ci sia nessun tipo di errore nel procedimento, questo mi interessava. Grazieee 
Raga,altra domanda stupida: sto risolvendo questo integrale: $ int x^2/(sqrt(9+x^2))dx $ , ho fatto un'integrazione per
sostituzione con 3senx=t alla radice e come risultato finale giungo a: $ ((sqrt(9+x^2)x)/2)-(9arcsen x/3)/2 $ e mi trovo con wolfram, nella soluzione pero' il testo porta un altro tipo di risultato, ossia: $ x/2sqrt(9+x^2)-9/2ln(x+sqrt(9+x^2)) $ chiedo perchè mi era capitato anche in un altro esercizio della stessa tipologia, è un modo differente di scrivere oppure sbaglio io qualcosa nel risultato finale?
Perdonate ancora una volta l'ignoranza
Grazie.
sostituzione con 3senx=t alla radice e come risultato finale giungo a: $ ((sqrt(9+x^2)x)/2)-(9arcsen x/3)/2 $ e mi trovo con wolfram, nella soluzione pero' il testo porta un altro tipo di risultato, ossia: $ x/2sqrt(9+x^2)-9/2ln(x+sqrt(9+x^2)) $ chiedo perchè mi era capitato anche in un altro esercizio della stessa tipologia, è un modo differente di scrivere oppure sbaglio io qualcosa nel risultato finale?
Perdonate ancora una volta l'ignoranza
Grazie.
Ciao,
i calcoli non li ho fatti ma nell'integrale tu hai $sqrt(9+x^2)$ c'è il $+$ tra i due monomi sotto radice. La derivata di $arcsinx$ è $1/sqrt(1-x^2)$, che ha un $-$ tra i due monomi sotto radice. Forse la sostituzione corretta è $x=3sinh(t)$
i calcoli non li ho fatti ma nell'integrale tu hai $sqrt(9+x^2)$ c'è il $+$ tra i due monomi sotto radice. La derivata di $arcsinx$ è $1/sqrt(1-x^2)$, che ha un $-$ tra i due monomi sotto radice. Forse la sostituzione corretta è $x=3sinh(t)$
@Amedim
se $intx^2/sqrt(x^2+9)dx$ lo risolvi per parti (sono [strike]3 passaggi netti[/strike] 4 passaggi netti, con un piccolo artificio), senza scomodarti a fare sostituzioni trigonometrica, né piane né iperboliche, trovi esattamente la soluzione del libro:
$intx^2/sqrt(x^2+9)dx=int(x^2+9-9)/sqrt(x^2+9)dx=intsqrt(x^2+9)dx-9int1/sqrt(x^2+9)dx$
$intx^2/sqrt(x^2+9)dx=xsqrt(x^2+9)-intx^2/sqrt(x^2+9)dx-9int1/sqrt(x^2+9)(x+sqrt(x^2+9))/(x+sqrt(x^2+9))dx$
ora noto che il primo integrale del secondo membro è l'opposto dell'integrale al primo membro, qundi lo porto al primo membro e lo sommo ottenendo subito
$intx^2/sqrt(x^2+9)dx=(xsqrt(x^2+9))/2-9/2int(1+x/sqrt(x^2+9))/(x+sqrt(x^2+9))dx$
e quindi
$intx^2/sqrt(x^2+9)dx=(xsqrt(x^2+9))/2-9/2log(x+sqrt(x^2+9))+C$
dato che nell'ultimo integrale rimasto, il numeratore è la derivata del denominatore.
[strike]Ora perché il tuo libro non metta il valore assoluto al log mi rimane un mistero[/strike]....
ciao
se $intx^2/sqrt(x^2+9)dx$ lo risolvi per parti (sono [strike]3 passaggi netti[/strike] 4 passaggi netti, con un piccolo artificio), senza scomodarti a fare sostituzioni trigonometrica, né piane né iperboliche, trovi esattamente la soluzione del libro:
$intx^2/sqrt(x^2+9)dx=int(x^2+9-9)/sqrt(x^2+9)dx=intsqrt(x^2+9)dx-9int1/sqrt(x^2+9)dx$
$intx^2/sqrt(x^2+9)dx=xsqrt(x^2+9)-intx^2/sqrt(x^2+9)dx-9int1/sqrt(x^2+9)(x+sqrt(x^2+9))/(x+sqrt(x^2+9))dx$
ora noto che il primo integrale del secondo membro è l'opposto dell'integrale al primo membro, qundi lo porto al primo membro e lo sommo ottenendo subito
$intx^2/sqrt(x^2+9)dx=(xsqrt(x^2+9))/2-9/2int(1+x/sqrt(x^2+9))/(x+sqrt(x^2+9))dx$
e quindi
$intx^2/sqrt(x^2+9)dx=(xsqrt(x^2+9))/2-9/2log(x+sqrt(x^2+9))+C$
dato che nell'ultimo integrale rimasto, il numeratore è la derivata del denominatore.
[strike]Ora perché il tuo libro non metta il valore assoluto al log mi rimane un mistero[/strike]....
ciao
"tommik":
Ora perché il tuo libro non metta il valore assoluto al log mi rimane un mistero
non lo mette perchè l'argomento è sempre positivo
"cooper":
non lo mette perchè l'argomento è sempre positivo
ops....
comunque (il resto del)la soluzione è giusto.
@Cooper: thanks
Bene, Grazie @tommik, dunque quel metodo che avevo utilizzato non era corretto O semplicemente piu' "lento" per risolvere questo tipo di integrale? Ah e giustamente dovevo sostituire sinhx e non senx come mi faceva notare @ziben. Dnque giungo allo stesso risultato di wolfram.
Ve lo chiedo anche perchè mi è capitato con un altro tipo di integrale con una sola radice: $ intsqrt(2+x^2) $ he ho risolto col metodo di sostituzione e nella soluzione mi trovavo sempre un log...dovrei farli sempre per parti?
grazie a tutti raga
Ve lo chiedo anche perchè mi è capitato con un altro tipo di integrale con una sola radice: $ intsqrt(2+x^2) $ he ho risolto col metodo di sostituzione e nella soluzione mi trovavo sempre un log...dovrei farli sempre per parti?
grazie a tutti raga
Se vuoi un terzo metodo puoi usare la sostituzione trigonometrica piana sostuendo:
$x=3tany$
anche in quello postato dopo hai diverse alternative.....parti o sostituzione trig....fai ciò che ti piace di più
$x=3tany$
anche in quello postato dopo hai diverse alternative.....parti o sostituzione trig....fai ciò che ti piace di più
"tommik":
Se vuoi un terzo metodo puoi usare la sostituzione trigonometrica piana sostuendo:
$x=3tany$
anche in quello postato dopo hai diverse alternative.....parti o sostituzione trig....fai ciò che ti piace di più
Perfetto, allora probabilmente avevo sbagliato qualcosa io nelle sostituzioni? Perche dovrebbe venire lo stesso risultato con tutti i metodo credo ahahaa volevo solo vedere se ho ben capito questo sistema della sostituzione.
per rispondere al tuo dubbio: a meno di aggiustare la soluzione con l'arcoseno iperbolico le due soluzioni sono del tutto equivalenti (a meno di una costante che tanto nel calcolo delle primitive non interessa più di tanto). vale infatti che:
$ arcsinh (t)=ln(t+sqrt(t^2+1)) $ svolgendo i calcoli con $t=x/3$ ottieni
$ ln(1/3)+ln(x+sqrt(x^2+9)) $ che è l'altra soluzione.
$ arcsinh (t)=ln(t+sqrt(t^2+1)) $ svolgendo i calcoli con $t=x/3$ ottieni
$ ln(1/3)+ln(x+sqrt(x^2+9)) $ che è l'altra soluzione.
aiuto raga, un altro integrale con il metodo di sostituzione (anche abbastanza stupido) pero' mi sono bloccato su un punto: $ int(dx)/((x-1)(sqrt(x^2-3x+2))) $
Allora, vedete se procedo bene, io cerco di farlo per sostituzione con le classiche funzioni iperboliche, costruendo un quadrato sotto radice e ponendo quindi $ x-3/2=1/2cosht $ . Fin qui tutto ok credo, il problema riguarda la sostituzione con x-1... ad x dovrei sostituire $ 1/2cosht+3/2 $ o sbaglio? Perchè svolgendo i calcoli (se ho fatto tutto bene) non giungo al risultato!
Allora, vedete se procedo bene, io cerco di farlo per sostituzione con le classiche funzioni iperboliche, costruendo un quadrato sotto radice e ponendo quindi $ x-3/2=1/2cosht $ . Fin qui tutto ok credo, il problema riguarda la sostituzione con x-1... ad x dovrei sostituire $ 1/2cosht+3/2 $ o sbaglio? Perchè svolgendo i calcoli (se ho fatto tutto bene) non giungo al risultato!
Ciao,
non avendo visto i tuoi calcoli non so dov'è l'eventuale errore ma io ho risolto così:
$\int 1/((x-1)sqrt((x-3/2)^2-1/4))dx$ faccio una prima sostituzione (che si potrebbe anche non fare, la faccio perché mi rimane comodo) $x-3/2 = y$, e ottengo:
$\int1/((y+1/2)sqrt(y^2-1/4))dy$
adesso faccio:
$y^2+\alpha=(y+t)^2=y^2+2yt+t^2$ da cui $y=(\alpha-t^2)/(2t)$, poi $t=sqrt(y^2+\alpha)-y$ per cui
$sqrt(y^2+\alpha)=(\alpha+t^2)/(2t)$ e $dy=-(\alpha+t^2)/(2t^2)dt$ essendo $\alpha=-1/4$. Sostituendo nell'integrale ottengo:
$-\int2/(\alpha-t^2+t)dt=2\int 1/(t^2-t+1/4)dt=2\int 1/(t-1/2)^2dt = 2(t-1/2)^(-2+1)/(-2+1)+C= -2/(t-1/2)+C$
Tornando alla $x$:
$-2/(sqrt(x^2-3x+2)-x+1) +C= 2/(x-1-sqrt(x^2-3x+2))+C$
non avendo visto i tuoi calcoli non so dov'è l'eventuale errore ma io ho risolto così:
$\int 1/((x-1)sqrt((x-3/2)^2-1/4))dx$ faccio una prima sostituzione (che si potrebbe anche non fare, la faccio perché mi rimane comodo) $x-3/2 = y$, e ottengo:
$\int1/((y+1/2)sqrt(y^2-1/4))dy$
adesso faccio:
$y^2+\alpha=(y+t)^2=y^2+2yt+t^2$ da cui $y=(\alpha-t^2)/(2t)$, poi $t=sqrt(y^2+\alpha)-y$ per cui
$sqrt(y^2+\alpha)=(\alpha+t^2)/(2t)$ e $dy=-(\alpha+t^2)/(2t^2)dt$ essendo $\alpha=-1/4$. Sostituendo nell'integrale ottengo:
$-\int2/(\alpha-t^2+t)dt=2\int 1/(t^2-t+1/4)dt=2\int 1/(t-1/2)^2dt = 2(t-1/2)^(-2+1)/(-2+1)+C= -2/(t-1/2)+C$
Tornando alla $x$:
$-2/(sqrt(x^2-3x+2)-x+1) +C= 2/(x-1-sqrt(x^2-3x+2))+C$
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