Integrale

[Giuseppecoppola1]

Qualcuno puo spiegarmi il procedimento risolutivo del seguente integrale indefinito:
$\int 1/(x^2-1)^2

[Lo_zio_Tom]

"Giuseppecoppola":Qualcuno puo spiegarmi il procedimento risolutivo del seguente integrale indefinito:
$\int 1/(x^2-1)^2

no. Sei tu che devi scrivere una bozza di soluzione.....

[Giuseppecoppola1]

Ho provato in molti modi ma non riesco mai ad arrivare a niente.
Ho provato anche a sostituire x con cosht ma arrivo ad un punto in cui non so andare avanti poiche mi trovo 1/sinh^3t

[axpgn]

Fratti semplici ti dice niente?

[Lo_zio_Tom]

Con la sostituzione $ x=(1+t)/(1-t) $ l'integrale diventa immediato.... ammesso che l'integrale sia in $ dx $ perché nello sgorbio di integrale che hai scritto non si vede.....


ciao

[axpgn]

Dovresti capire che il tuo concetto di "immediato" non è lo stesso dei comuni mortali ... ... è vero che DOPO la sostituzione è immediato ma PRIMA, trovarla ...

Cordialmente, Alex

P.S.: Più seriamente, questo caso penso sia "abbastanza" classico quindi non dovrebbe essere difficile da "ricordare" in futuro (non da me, tra due giorni l'avrò scordato ... ), ma tu vedi "immediatamente" sostituzioni decisamente più complicate di questa (che comunque non è banale) ...

[Erasmus_First]

"Giuseppecoppola":Qualcuno puo spiegarmi il procedimento risolutivo del seguente integrale indefinito:
$\int 1/(x^2-1)^2dx$

Non è difficile!
Siccome $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$, si cerchino due costanti A e B tali che risiulti $A/(x+1) + B/(x - 1) =1/(x^2-1) $.
Si trova $A/(x+1) + B/(x - 1) = ((A+B)x - (A-B))/(x^2 - 1)$ e questo deve valere $1/(x^2-1)$.
Allora dev'essere $A+B = 0$ e $A-B= -1$, cioè $A = -1/2$ e $B=1/2$. Perciò (come si controlla facilmente):
$1/(x^2-1) = 1/2(-1/(x+1)+1/(x-1))$. (*)

Adesso facciamo il quadrato (e poi sfruttiamo la stessa identità (*)).
$1/(x^2-1)^2 = [1/2(-1/(x+1)+1/(x-1))]^2 = 1/4(1/(x+1)^2 + 1/(x-1)^2 -2/(x^2-1)) =$
$= 1/4(1/(x+1)^2 + 1/(x-1)^2 +1/(x+1) - 1/(x-1))$.
Le primitive di questi quattro addendi sono subito trovate perché
$1/(x+1)^2 = d/(dx)(-1/(x+1))$; $1/(x-1)^2 = d/(dx)(-1/(x-1))$;
$1/(x+1) = d/(dx)ln(|x+1|)$; $1/(x-1) = d/(dx)ln(|x-1|)$.

In definitiva, detta $k$ una costante arbitraria:
$∫1/(x^2-1)^2dx =1/4∫(1/(x+1)^2 + 1/(x-1)^2 + 1/(x+1) - 1/(x-1))dx =$
$=1/4((-1)/(x+1) + (-1)/(x-1) + ln(|x+1|) - ln(|x-1|)) + k = -1/2x/(x^2-1) + 1/4ln(|(x+1)/(x-1)|) + k$.
Per controllo, si derivi quest'ultima espressione. Si trova proprio:
$d/dx(-1/2x/(x^2-1) + 1/4ln(|(x+1)/(x-1)|) + k) = 1/(x^2-1)^2$.
_______

[Lo_zio_Tom]

"Erasmus_First":
Non è difficile!

[strike]sconsiglio vivamente all'utente di procedere in tal modo.[/strike]...dato che sostituendo, come ho detto, $x=(1+t)/(1-t)$ l'integrale si suicida in modo indolore

EDIT: non è mio compito fornire consigli non richiesti....ma sottolineo che la strada che ho indicato è molto più breve e semplice

[Erasmus_First]

"tommik":[...] sostituendo [...] $x=(1+t)/(1-t)$ [...]
EDIT:[...] la strada che ho indicato è molto più breve e semplice

Ma tu l'hai fatto davvero tutto quest'integrale, arrivando all'uguaglianza finale che ora ripeto?
$∫1/(x^2-1)^2dx =-1/2x/(x^2-1) + 1/4ln(|(x+1)/(x-1)|) + k$.
Mi sa di no, altrimenti avresti dovuto fare un numero di passaggi maggiore di quelli da fare integrando mediante la scomposizione dell'unica frazione in una somma di frazioni con denominatore di grado più basso.
In particolare, dopo aver trovato la primitiva come funzione di $t$ devi operare la sostituzione inversa per avere la definitiva primitiva come funzione di $x$.

Proviamo a farli davvero tutti i passaggi secondo il tuo "suggerimento".

$ x= (1+t)/(1-t)$ ⇒ $dx = (dx)/(dt)dt = (1(1-t)-(-1)(1+t))/(1-t)^2 dt = 2/(1-t)^2dt$;
$1/(x^2-1)^2dx = 1/(((1+t)/(1-t))^2-1)^2·2/(1-t)^2 dt =(2(1-t)^2)/(1+t^2 +2t - 1 - t^2 +2t)^2 dt =$
$= 2(1-t)^2/(4t)^2dt =1/8 (1+t^2 -2t)/t^2 dt = (1/8 1/t^2+1/8 - 1/4 1/t)dt$;
$1/8∫(1/t^2 +1-2/t)dt = (-1)/(8t) + t/8 - 1/4 ln(|t|) + k$.

Ora bisogna invertire la sostituzione.
$x = (1+t)/(1-t)$ ⇒ $x-xt -1 -t =0$ ⇔ $x-1 = t(x+1)$ ⇒ $t=(x-1)/(x+1)$:
$(-1)/(8t) + t/8 - 1/4 ln(t) + k = -1/8 (1+x)/(1-x)+ 1/8 (x-1)/(x+1) -1/4 ln(|(x-1)/(x+1)|) + k =$
$= 1/8(-x^2 -1 -2x +x^2+1 -2x)/(x^2-1) + 1/4 ln(|(x+1)/(x-1)|) + k =$
$=1/8 (-4x)/(x^2 -1) + 1/4 ln(|(x+1)/(x-1)|) + k = -1/2 x/(x^2-1) + 1/4ln(|(x+1)/(x-1)|) + k$.

Se per te tutto questo è «molto più breve e semplice» ... che ti devo dire?
«[size=120]De gustibus[/size] ... (non est disputandum)»

_______

[Lo_zio_Tom]

sì hai ragione, è questione di gusti, lasciamo scegliere all'utente.

con il mio suggerimento l'integrale è immediatamente risolto in quanto somma di integrali immediati...il resto sono passaggi algebrici alcuni dei quali possono anche essere omessi dato che non è necessario arrivare alla semplificazione della soluzione...


fai conto che io non ho tempo da buttare e metà di quei passaggi che tu hai certosinamente scritto li ho fatti a mente e no, non ho invertito la soluzione perché una volta trovata la sostituzione chiave per risolvere l'integrale per me il lavoro è finito....la manovalanza di invertire un'espressione algebrica te la lascio volentieri

cordiali saluti

[axpgn]

Scusami Erasmus, io trovo la soluzione di tommik più "carina" e più semplice ma come si è detto è questione di gusti, casomai la difficoltà maggiore nella soluzione di tommik è quella di avere la giusta intuizione per la sostituzione non i conti; io avevo suggerito i "fratti semplici" perché avendo un rapporto di polinomi, funziona sempre, indipendentemente dalla "laboriosità" dei calcoli (un po' come De L'Hopital con i limiti, quando ne ricorrono le condizioni).
Comunque, questioni di gusti ... quello che invece mi lascia perplesso è il fatto che parli di maggior semplicità ma poi risolvi l'integrale con due passaggi per i fratti semplici invece che direttamente con uno solo ... ecco, questo non capisco ...

Cordialmente, Alex