Integrale

[dennysmathprof]

vogliamo calcalare l'integrale [tex]\displaystyle \int_0^1 \frac{\arctan \dfrac{x}{x+1}}{\arctan \dfrac{1+2x-2x^2}{2}}\,dx[/tex]

dionisio

[Rigel1]

Detta \(f\) la funzione integranda, consideriamo la funzione ausiliaria
\[
g(x) = f(x+\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = \frac{2 \arctan\frac{2x+1}{2x+3} - \arctan(3/4-x^2)}{2 \arctan(3/4-x^2)}\,,
\quad x\in [-1/2, 1/2].
\]
Si ha che \(g\) è una funzione dispari; la verifica si basa sul fatto che la funzione
\[
h(x) = \arctan\frac{2x-1}{2x-3} + \arctan\frac{2x+1}{2x+3} - \arctan(3/4-x^2)\,,
\quad x\in [-1/2, 1/2],
\]
è identicamente nulla, fatto che a sua volta può essere dimostrato osservando che \(h' = 0\) e che \(h(0) = 0\).
Poiché \(g\) è dispari (e continua), il suo integrale nell'intervallo \((-1/2, 1/2)\) è nullo, dunque
\[
0 = \int_{-1/2}^{1/2} g = \int_0^1 \left[f(x) - \frac{1}{2}\right]\,dx = \int_0^1 f - \frac{1}{2}\,;
\]
di conseguenza l'integrale di partenza vale \(1/2\).

[dennysmathprof]

Grazie Rigel

Mi piace la tua soluzione .E diversa dalla mia.

buona sera