Integrale

[stranamentemate]

ho bisogno di capire come risolvere questo integrale:

$\int \frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}$

ho provato ad inquadrare entrambi come logaritmi con il metodo di integrazioni per parti ma non ottengo nulla

[stranamentemate]

"TeM":Questo integrale è (semi)immediato. Tramite una sostituzione del tipo \(u = \sqrt{x^2 - 1}\) è praticamente calcolato.

beato che per te è praticamente calcolato, io ancora sono in un vicolo cieco

[stranamentemate]

così è chiaro in questi giorni ci darò dentro con un sacco di integrali, avrò bisogno sicuramente di questo forum. un grazie sincero per l'aiuto

[***1117]

Salve a tutti

Inoltre puoi svolgere tale integrale con le funzioni iperboliche.

[stranamentemate]

"TeM":Non preoccuparti, cerco di mostrarti come fare (la prossima volta, però, mostra qualche tentativo eh).

Dunque, preliminarmente si osserva che \[ \int \frac{1}{x\,\sqrt{x^2 - 1}}dx = \int \frac{1}{x^2}\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}dx = \dots \] quindi, ponendo una sostituzione del tipo \(u = \sqrt{x^2 - 1}\) e differenziando: \(du = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}dx\), si ottiene \[ \dots = \int \frac{1}{u^2 + 1}du = \arctan u + c = \arctan\left(\sqrt{x^2 - 1}\right) + c \; . \] Ok?

ciao, guardando più attentamente la tua risposta mi sono accorta di non aver capito nemmeno ora

ti illustro come l'ho interpretata io

questo è ciò che hai scritto te:
$u = \sqrt{x^2 - 1}$
$du = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}dx$

derivandolo a me esce così:

$du = \frac{1}{2}\frac{2x}{\sqrt{x^2 - 1}}dx$


$du = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}dx$

te invece hai $\sqrt{x^2 + 1}$

continuando con la mia sostituzione, inserisco du al posto di ciò che vedo in questo integrale che mi avevi indicato:

$int \frac{1}{x^2}\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}dx$

$int_{}^{} \frac{1}{x^2}du$ che ovviamente non ha alcun senso

ammettendo anche che sia $\sqrt{x^2 + 1}$ i passaggi intermedi mi sfuggono comunque perchè non saprei come gestire u e du