Integrale

[Newton_1372]

Non riesco a calcolare $\int \frac{K}{\cos\theta\sqrt{\cos^2\theta-K^2}}$
Ho provato diverse strategie d'attacco, ma non mi riesce (per esempio ho provato a porre $\cos\theta=u$ e altre strategie, ma viene troppo contoso!
Mi date qualche suggerimento?

[ciampax]

Provato con la sostituzione parametrica? $\cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ con $\theta=\tan\frac{\theta}{2}$. Comunque, credo che quella $K$ causi una sorta di discriminazione... cioè vengano integrali diversi a seconda che $K=0,\ 0<|K|<1,\ K=1,\ K>1$ (non ne sono certo, ma a occhio direi di sì).

EDIT: ora che ci penso, quell'integrale ha senso solo se $0\le|K|< 1$, altrimenti la funzione sotto integrale non è definita.

[Newton_1372]

non riesce...con questa sostituzione mi trovo una cosa del tipo
$\int \frac{2k(1+t^2)}{(1-t^2)\sqrt{(1-t^2)^2-K^2(1+t^2)^2}}$

[ciampax]

Sì, avevo controllato. Il Maple mi sputa fuori il risultato, ma è una cosa orrenda da scrivere, per cui mi sa che qualche calcolo (di quelli che ti fanno urlare di dolore) va fatto.

EDIT: prova ad usare le seguenti sostituzioni in successione $\cos\theta=t,\ t^2=s$, se non altro lo dovresti scrivere in una forma più malleabile, cioè come un integrale in cui è presente la radice quadrata di un polinomio di secondo grado.

[Newton_1372]

Comunque il risultato di quell'integrale dà proprio la $$\phi(\theta)$$ dell'esercizio sulle geodetiche...

[ciampax]

E come l'hai ottenuta, scusa?

[Newton_1372]

Ricapitolo il ragionamento nel post sulle geodetiche per non entrare OT