Integrale
Salve,
Devo calcolare il seguente integrale:
\( \int \frac{1}{(x^4+a^4)^2}\ \text{d} x \)
come posso scomporre $(x^4+a^4)$ ? In modo tale da ridurmi a un equazione di secondo grado per utilizzare il metodo dei fratti semplici
Devo calcolare il seguente integrale:
\( \int \frac{1}{(x^4+a^4)^2}\ \text{d} x \)
come posso scomporre $(x^4+a^4)$ ? In modo tale da ridurmi a un equazione di secondo grado per utilizzare il metodo dei fratti semplici
Risposte
\[x^4+a^4 = (x^2+a^2)^2 - 2a^2 x^2 = (x^2+a^2-\sqrt{2} a x)(x^2+a^2+\sqrt{2} a x)\]
"Rigel":
\[x^4+a^4 = (x^2+a^2)^2 - 2a^2 x^2 = (x^2+a^2-\sqrt{2} a x)(x^2+a^2+\sqrt{2} a x)\]
Mi rimane di risolvere il seguente integrale:
\( \int \frac{1}{(x^2+a^2+\sqrt{2}ax) }\ \text{d} x \)
Come posso risolvere il seguente integrale?
Ci sono un po' di calcoli da fare ma io lo scriverei così, tentando di portare il tutto verso una arcotangente.
Notando che il denominatore si può scrivere così:
$x^{2}+a^{2}+\sqrt{2}ax=(x+\frac{\sqrt{2}}{2}a)^{2}+\frac{1}{2}a^2$
Quindi l'integrale diventa:
$\int\frac{1}{(x+\frac{\sqrt{2}}{2}a)^{2}+\frac{1}{2}a^2}dx$
Volendo ricondurci a una forma simile a questa:
$\int\frac{1}{1+x^{2}}dx$
effettivamente "ci siamo quasi", raccogliamo un 1/2a:
$\int\frac{1}{(x+\frac{\sqrt{2}}{2}a)^{2}+\frac{1}{2}a^2}dx=\int\frac{1}{\frac{1}{2}a^{2}(1+\frac{2}{a^{2}}(x+\frac{\sqrt{2}}{2}a)^{2})}=\int\frac{1}{\frac{1}{2}a^{2}(1+[\frac{\sqrt{2}}{a}(x+\frac{\sqrt{2}}{2}a)]^{2})}$
A questo punto moltiplichiamo e dividiamo per 1/2a:
$=\frac{2}{a^{2}}\int\frac{1}{(1+[\frac{\sqrt{2}}{a}(x+\frac{\sqrt{2}}{2}a)]^{2})}dx$
A questo punto con un po' di mal di pancia riusciamo a risolvere questo integrale, sempre di non aver perso nulla "per strada":
$=\frac{2}{a^{2}}\frac{a}{\sqrt{2}}\int\frac{\frac{\sqrt{2}}{a}}{(1+[\frac{\sqrt{2}}{a}(x+\frac{\sqrt{2}}{2}a)]^{2})}dx==\frac{2}{a\sqrt{2}}\arctan(\frac{\sqrt{2}}{a}(x+\frac{\sqrt{2}}{2}a))$
Ricontrolla i miei calcoli per sicurezza, li ho fatti un po di fretta!
Notando che il denominatore si può scrivere così:
$x^{2}+a^{2}+\sqrt{2}ax=(x+\frac{\sqrt{2}}{2}a)^{2}+\frac{1}{2}a^2$
Quindi l'integrale diventa:
$\int\frac{1}{(x+\frac{\sqrt{2}}{2}a)^{2}+\frac{1}{2}a^2}dx$
Volendo ricondurci a una forma simile a questa:
$\int\frac{1}{1+x^{2}}dx$
effettivamente "ci siamo quasi", raccogliamo un 1/2a:
$\int\frac{1}{(x+\frac{\sqrt{2}}{2}a)^{2}+\frac{1}{2}a^2}dx=\int\frac{1}{\frac{1}{2}a^{2}(1+\frac{2}{a^{2}}(x+\frac{\sqrt{2}}{2}a)^{2})}=\int\frac{1}{\frac{1}{2}a^{2}(1+[\frac{\sqrt{2}}{a}(x+\frac{\sqrt{2}}{2}a)]^{2})}$
A questo punto moltiplichiamo e dividiamo per 1/2a:
$=\frac{2}{a^{2}}\int\frac{1}{(1+[\frac{\sqrt{2}}{a}(x+\frac{\sqrt{2}}{2}a)]^{2})}dx$
A questo punto con un po' di mal di pancia riusciamo a risolvere questo integrale, sempre di non aver perso nulla "per strada":
$=\frac{2}{a^{2}}\frac{a}{\sqrt{2}}\int\frac{\frac{\sqrt{2}}{a}}{(1+[\frac{\sqrt{2}}{a}(x+\frac{\sqrt{2}}{2}a)]^{2})}dx==\frac{2}{a\sqrt{2}}\arctan(\frac{\sqrt{2}}{a}(x+\frac{\sqrt{2}}{2}a))$
Ricontrolla i miei calcoli per sicurezza, li ho fatti un po di fretta!
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